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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/551

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Ideal ist

.

Diese Definition ist sachlich etwas allgemeiner als die in den Arbeiten von Hilbert, Furtwängler, Takagi und Artin benutzte, führt aber in den dortigen Spezialfällen ( prim zu ) ohne weiteres auf die dort zugrunde gelegte Definition mittels des verallgemeinerten Eulerschen Kriteriums zurück.

Aus seinem Reziprozitätsgesetz folgerte Artin durch Anwendung auf die speziellen relativ-Abelschen Körper unmittelbar:

Das Reziprozitätsgesetz der Potenzreste (1. Form). Das -te Potenzrestsymbol hängt nur von der Klasse ab, der das Ideal bei der zu gehörigen Klasseneinteilung angehört.

Mittels eines Furtwänglerschen Schlußverfahrens leitete ferner Hasse die folgende Tatsache von der klassischen Gestalt des Reziprozitätsgesetzes her:

Das Reziprozitätsgesetz der Potenzreste (2. Form). Es ist

,

wenn die Führer von und zueinander prim sind.

3. Weiter konnte Hasse auch die elegante Hilbertsche Formulierung des Reziprozitätsgesetzes als Produkttheorem für das Normenrestsymbol in der jetzt erreichten Allgemeinheit geben:

Das Reziprozitätsgesetz als Produkttheorem für das Normenrestsymbol. Für beliebige aus und beliebige relativ-Abelsche Körper über ist stets das über alle Primstellen von erstreckte Produkt

.

Dabei ist das Symbol als Element der Galoisschen Relativgruppe von derart erklärt, daß insbesondere gilt:

dann und nur dann, wenn für jede noch so hohe Potenz von der Norm einer Zahl aus nach kongruent ist.

Die exakte Definition des Symbols wird, ähnlich wie für das Potenzrestsymbol, durch Zurückführung auf eine Frobenius-Substitution gegeben, welche hier allerdings etwas komplizierter ist:

ist die Frobenius-Substitution zu für , wenn aus durch den Mechanismus bestimmt wird:

mod. , mod. ( der Führer von , der -Bestandteil von )

und

mit einem Primideal .

existiert nach dem allgemeinen Satz von der arithmetischen Progression.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 534. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/551&oldid=- (Version vom 2.10.2016)