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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Nun setzen wir

$\varkappa _{1}=\varkappa '+1$

und genügen damit der ersten der Bedingungen (35) und der Bedingung (33) für $s=1$. Nach dieser Verfügung über $\varkappa _{1}$ bestimmt sich $\varkappa '_{1}$ wegen (32) aus der Gleichung

$\varkappa '_{1}=\varphi _{1}(\varkappa _{1}).$

Da nun wiederum die Funktion $F_{1}(K_{1},\,\varkappa _{1})$ bei festem $\varkappa _{1}$ mit $K_{1}$ zugleich, ohne je abzunehmen, über alle Grenzen wächst und wegen (32), (34)

$K_{2}=F_{1}(K_{1},\,\varkappa _{1})$

ist, so können wir $K$ weiter so groß wählen, daß

${\frac {1}{2}}{\sqrt {K_{2}}}-1>\varkappa '_{1}+1$

wird, und dann bleibt diese Ungleichung auch erfüllt, wenn wir $K$ noch vergrößern. Nun setzen wir

$\varkappa _{2}=\varkappa '_{1}+1$

und genügen damit der zweiten der Bedingungen (35) und der Bedingung (33) für $s=2$. In derselben Weise fahren wir fort, bis wir zu der Gleichung

$\varkappa _{g-1}=\varkappa '_{g-2}+1$

gelangen.

Schließlich machen wir $K$ noch so groß, daß

${\sqrt {K'_{g-1}}}>\varkappa '_{g-1}$

wird; da wegen (31) für $s=g-1$

$|Y_{h}^{\prime (g)}|<\varkappa '_{g-1}{\sqrt {K'_{g-1}}}x,$

und folglich jetzt

$|Y_{h}^{\prime (g)}|<K'_{g-1}x$

ist, so werden die auf der rechten Seite der letzten Formel in (30) zur $n$-ten Potenz erhobenen ganzen Zahlen positiv.

Führen wir nun die Substitutionen der linken Seiten der Formeln (30) in den rechten Seiten der jedesmal vorangehenden Formel aus, so entsteht eine Formel von der Gestalt

$x^{p}(Kx^{q}+Y)=\sum \limits _{h=1,\,\ldots \,,N^{*}}k_{h}(K'_{g-1}x+Y_{h}^{\prime (g)})^{n},$

wobei rechts

$N^{*}=N_{1}N_{2}\cdots N_{g}$

Summanden stehen und die $k_{h}$ positive rationale Zahlen sind. Damit ist Hilfssatz 5 bewiesen.

Aus Hilfssatz 5 vermögen wir nun das anfangs aufgestellte Theorem über die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch $n$-te Potenzen folgendermaßen abzuleiten.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 525. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/542&oldid=- (Version vom 17.1.2018)