Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/537

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

ferner eine reelle, stets positive Funktion $\varphi (\varkappa )$ der reellen Variabeln $\varkappa$ und endlich eine Funktion $F(K,\,\varkappa )$ der ganzzahligen Variabeln $K$ und der reellen Variabeln $\varkappa$, die durchweg positive ganzzahlige Werte hat und bei festgehaltenem $\varkappa$ mit unendlich wachsendem $K$ selbst, ohne je abzunehmen, über alle Grenzen wächst; diese zu $m$ zugehörigen Größen $r_{h}$, $\varphi$, $F$ sind von folgender Beschaffenheit:

Es sei $x$ eine beliebige positive ganze Zahl und $K$ eine beliebige positive Zahl $>16$, ferner $\varkappa$ eine reelle, der Ungleichung

$1\leqq \varkappa <{\frac {1}{2}}{\sqrt {K}}-1$

(18)

genügende Größe; es werde endlich

$\varkappa '\varphi (\varkappa ),$ $K'=F(K,\,\varkappa )$

(19)

gesetzt; wenn dann $Y$ eine beliebige ganze Zahl ($\gtreqqless 0$) ist, deren absoluter Betrag der Ungleichung

$|Y|<\varkappa {\sqrt {K}}x^{2}$

(20)

genügt, so können zu diesen Größen $x$, $K$, $\varkappa$, $Y$ stets $N$ ganze Zahlen $Y'_{1}$, …, $Y'_{N}(\gtreqqless 0)$, deren absolute Beträge die Ungleichungen

$|Y'_{h}|<\varkappa '{\sqrt {K'}}x$

(21)

befriedigen, derart gefunden werden, daß die Gleichung

$(Kx^{2}+Y)^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(K'x+Y'_{h})^{2m}$

stattfindet.

Zum Beweise bestimmen wir zunächst eine positive ganze Zahl $G$ durch die Ungleichungen

$(G+\varkappa )^{2}<K\leqq (G+\varkappa +1)^{2}$;

(22)

dann wird

$K-G^{2}>\varkappa (2G+\varkappa )\geqq 2\varkappa {\sqrt {K}}-\varkappa (\varkappa +2)$,

und da wegen (18)

${\sqrt {K}}>\varkappa +2$

ist, so haben wir demnach auch

$K-G^{2}>\varkappa {\sqrt {K}}$.

(23)

Andererseits ist mit Rücksicht auf (22)

$K-G^{2}\leqq (\varkappa +1)(2G+\varkappa +1)<2(\varkappa +1){\sqrt {K}}\leqq 4\varkappa {\sqrt {K}}$,

d. h.

$K-G^{2}<4\varkappa {\sqrt {K}}$.

(24)

Setzen wir nun

$X=(K-G^{2})x^{2}+Y$,

(25)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 520. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/537&oldid=- (Version vom 5.3.2017)