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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/514

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und diese widerspricht der in (1) getroffenen Festsetzung für das Primideal .

Wir haben somit erkannt, daß in beiden Fällen I, II der Idealquotient in äquivalent ausfällt; wir setzen demgemäß

, (13)

wo eine ganze oder gebrochene Zahl in ist. Bilden wir dann die Relativnorm

, (14)

so ist eine Einheit in , die den Bedingungen (7) genügen muß und diese Einheit wird daher nach dem oben bewiesenen Hilfssatz 1 gleich der Relativnorm einer Einheit in ; wir setzen

, (15)

wo eine Einheit in ist. Aus (14) und (15) folgt

. (16)

Setzen wir

,

(bez. , wenn etwa ist), so wird wegen (16)

(bez. ),

und hieraus entnehmen wir mit Rücksicht auf (13) die Gleichung für Ideale

,

d. h. ist das Produkt eines ambigen Ideals des Körpers in ein Ideal des Körpers . Da nun für beide Fälle I, II früher die Gleichung bewiesen worden ist und folglich alle ambigen Ideale in Hauptideale sind, so folgt, daß auch das Ideal einem Ideal des Körpers äquivalent sein muß. Hiermit ist der Beweis für den Hilfssatz 2 erbracht.

Hilfssatz 3Wenn irgendein Ideal in ist, so gibt es stets einen ungeraden Exponenten , so daß einem Ideal in äquivalent ist.

In der Tat, ist die Klassenanzahl des Körpers und setzen wir , wo einen gewissen Exponenten und eine ungerade Zahl bedeutet, so folgt, daß sein muß und hieraus schließen wir mit Rücksicht auf Hilfssatz 2 der Reihe nach, daß die Ideale gewissen Idealen in äquivalent ausfallen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 497. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/514&oldid=- (Version vom 31.7.2018)