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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/513

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so müßte, wie die vorhin angestellte Überlegung zeigt, die Ungleichung (8) gelten, was der Gleichung (11) widerspricht.

Wir sehen mit Rücksicht hierauf, daß die Einheiten in , welche den Bedingungen (7) genügen, im Falle I genau und im Falle II genau voneinander unabhängige Einheitenverbände ausmachen. Da diese Zahl wegen (10), (11) in beiden Fällen I, II gleich ausfällt, so liefern jene Einheiten im ganzen Einheitenverbände; dieselben müssen daher mit denjenigen Einheitenverbänden übereinstimmen, deren Einheiten Relativnormen von Einheiten in sind, d. h. in beiden Fällen I, II ist jede Einheit in , die den Bedingungen (7) genügt, notwendig die Relativnorm einer Einheit in und damit ist Hilfssatz 1 bewiesen.

Hilfssatz 2 Wenn ein Ideal in ist, dessen Quadrat einem Ideal in äquivalent ausfällt, so ist auch stets einem Ideal in äquivalent.

Beim Beweise verstehen wir unter die Relativsubstitution und unter die Relativnorm einer Zahl oder eines Ideals in . Da die Relativnorm des Ideals

jedenfalls ein Ideal in ist und nach Voraussetzung einem Ideal in äquivalent sein soll, so folgt, das auch der Idealquotient einem Ideal in äquivalent sein muß.

Im Falle I ist gewiß in ein Hauptideal. Wir beweisen andererseits, daß im Falle II das Ideal im Körper Hauptideal ist. Wäre nämlich in nicht Hauptideal, so wäre , wo die früher festgesetzte Bedeutung hat; setzen wir dann

,

wo eine gebrochene Zahl in ist, so folgt offenbar, indem wir auf beiden Seiten die Relativnorm bilden,

, (12)

wo eine Einheit und die früher bestimmte Zahl in bezeichnet. Da das Primideal im Falle II in der Relativdiskriminante von vorkommt, so erhalten wir wegen (12) die Gleichung

,
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 496. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/513&oldid=- (Version vom 31.7.2018)