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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/485

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Potenz auf, wobei , ausfallen möge: wenn es dann in gewisse ganze Zahlen , gibt, für welche die Kongruenzen

gelten, so ist stets

.

Den Beweis dieses Hilfssatzes führen wir leicht, indem wir uns der nämlichen Schlüsse wie beim Beweise des entsprechenden Satzes 47 bedienen.

Satz 57. (Hilfssatz.) Es sei ein in aufgehendes Primideal des Körpers und ferner seien , beliebige ganze Zahlen () in : wenn dann ausfällt, so ist auch stets .

Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen. Es sind zwei Fälle gesondert zu behandeln, je nachdem der Exponent , zu dem in aufgeht, gerade oder ungerade ausfällt.

Im ersteren Falle bezeichnen wir mit irgendeine durch , aber durch keine höhere Potenz von teilbare und zu , , …, prime ganze Zahl in und bestimmen dann eine ganze Zahl in derart, daß sie die Kongruenzen

(1)

erfüllt und nicht zugleich das Quadrat einer Zahl in ist; es ist dann eine zu prime Zahl und nach Definition 18 wird

,

wo die Produkte über alle zu primen Primideale in zu erstrecken sind. Wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin

. (2)

Wir wollen nun aus (2) beweisen, daß der Exponent , zu dem in aufgeht, sicher dann gerade ausfallen muß, wenn das Ideal des Körpers auch in Primideal bleibt. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es bliebe in Primideal. Wir bestimmen sodann ein Primideal , für welches die Gleichungen

, (3)
, (4)