In allen drei soeben behandelten Fällen ist mithin nach Definition 6 gewiß
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Wir hatten nun zu Beginn des Beweises
und sodann
als ganze Zahlen in
derart bestimmt, daß sie Quadraten ganzer Zahlen in
nach
kongruent ausfielen. Da ferner
nach
ist, so folgt nach Satz 47
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damit ist der Satz 48 vollständig bewiesen.
Satz 49. (Hilfssatz.) Es sei
ein in
aufgehendes Primideal und ferner seien
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen in
: wenn dann
ausfällt, so ist auch stets
.
Beweis. Wir wenden die am Anfang des Beweises zu Satz 48 erläuterten Bezeichnungen an und bestimmen eine ganze Zahl
, welche den Kongruenzen
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genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in
ist; dann haben wir wegen Satz 47
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infolgedessen gibt es gewisse ganze Zahlen
, …,
im Körper
derart, daß
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ausfällt. Wenn wir daher eine ganze Zahl
in
bestimmen, die zugleich den
Kongruenzen
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genügt, so wird auch
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und vermöge des Satzes 36 schließen wir hieraus leicht
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