primär und in Bestätigung des Satzes 38 finden wir in der Tat
−
(
1
+
ϑ
)
(
1
+
ϑ
−
2
ϑ
2
+
2
ϑ
3
)
≡
(
1
+
ϑ
+
ϑ
2
+
ϑ
3
)
2
,
(
2
2
)
,
−
ε
(
1
−
ϑ
)
(
1
+
ϑ
+
2
ϑ
2
+
ϑ
3
)
≡
ε
2
,
(
2
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}-(1+\vartheta )(1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3})&\equiv (1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\quad (2^{2}),\\-\varepsilon (1-\vartheta )(1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})&\equiv \varepsilon ^{2}\qquad \qquad \qquad \quad \,,\quad (2^{2}).\end{aligned}}}
Die Zahl
5
{\displaystyle 5}
k
(
ϑ
)
{\displaystyle k(\vartheta )}
tattooer
2
2
{\displaystyle 2^{2}}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
5
{\displaystyle 5}
ε
≡
(
1
+
2
ϑ
+
ϑ
2
+
ϑ
3
)
2
,
(
5
)
.
{\displaystyle \varepsilon \equiv (1+2\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\quad (5).}
Beispiel 5. Der durch die
5
{\displaystyle 5}
h
=
1
{\displaystyle h=1}
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
1
{\displaystyle 1}
5
{\displaystyle 5}
ϑ
4
+
ϑ
3
+
ϑ
2
+
ϑ
+
1
=
0
{\displaystyle \vartheta ^{4}+\vartheta ^{3}+\vartheta ^{2}+\vartheta +1=0}
wird. Der Körper
k
(
ϑ
)
{\displaystyle k(\vartheta )}
+
1
{\displaystyle +1}
−
1
{\displaystyle -1}
1
+
ϑ
{\displaystyle 1+\vartheta }
−
1
−
ϑ
{\displaystyle -1-\vartheta }
Die Zahlen
1
+
2
ϑ
2
,
2
−
ϑ
2
,
3
+
2
ϑ
+
ϑ
2
,
3
+
ϑ
,
3
+
4
ϑ
2
,
1
+
5
ϑ
2
}
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}1+2\vartheta ^{2},\quad 2-\vartheta ^{2}\,\,\,,\quad 3+2\vartheta +\vartheta ^{2},\\3+\vartheta \,\,\,,\quad 3+4\vartheta ^{2},\quad 1+5\vartheta ^{2}\qquad \end{aligned}}\right\}}
(10)
sind Primzahlen ersten Grades in
k
(
ϑ
)
{\displaystyle k(\vartheta )}
11
,
31
,
41
,
61
,
181
,
521
;
{\displaystyle {\begin{aligned}11,\qquad \,\,\,31,\qquad \,\,\,41,\\61,\qquad 181,\qquad 521;\end{aligned}}}
wir schließen hieraus mittels Satz 1 leicht
(
−
1
1
+
2
ϑ
2
)
=
−
1
,
(
−
1
2
−
ϑ
2
)
=
−
1
,
(
−
1
3
+
2
ϑ
+
ϑ
2
)
=
+
1
,
(
−
1
3
+
ϑ
)
=
+
1
,
(
−
1
3
+
4
ϑ
2
)
=
+
1
,
(
−
1
1
+
5
ϑ
2
)
=
+
1.
}
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1+2\vartheta ^{2}}}\right)&=-1,\quad \left({\frac {-1}{2-\vartheta ^{2}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {-1}{3+2\vartheta +\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\\\left({\frac {-1}{3+\vartheta }}\right)&=+1,\quad \left({\frac {-1}{3+4\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {-1}{1+5\vartheta ^{2}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}}
(11)
Die Einheit
1
+
ϑ
{\displaystyle 1+\vartheta }
1
+
ϑ
≡
5
,
≡
9
,
≡
11
,
≡
−
2
,
≡
43
,
≡
26.
{\displaystyle {\begin{aligned}1+\vartheta &\equiv \,\,\,\,5,\qquad \equiv \,\,\,\,9,\qquad \equiv 11,\\&\equiv -2,\qquad \equiv 43,\qquad \equiv 26.\end{aligned}}}
Da nun im Bereich der rationalen Zahlen
5
{\displaystyle 5}
11
{\displaystyle 11}
9
{\displaystyle 9}
31
{\displaystyle 31}
11
{\displaystyle 11}
41
{\displaystyle 41}
−
2
{\displaystyle -2}
61
{\displaystyle 61}
43
{\displaystyle 43}
181
{\displaystyle 181}
26
{\displaystyle 26}
521
{\displaystyle 521}
k
(
ϑ
)
{\displaystyle k(\vartheta )}
(
1
+
ϑ
1
+
2
ϑ
2
)
=
+
1
,
(
1
+
ϑ
2
−
ϑ
2
)
=
+
1
,
(
1
+
ϑ
3
+
2
ϑ
+
ϑ
2
)
=
−
1
,
(
1
+
ϑ
3
+
ϑ
)
=
−
1
,
(
1
+
ϑ
3
+
4
ϑ
2
)
=
+
1
,
(
1
+
ϑ
1
+
5
ϑ
2
)
=
+
1
,
}
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\left({\frac {1+\vartheta }{1+2\vartheta ^{2}}}\right)&=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{2-\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{3+2\vartheta +\vartheta ^{2}}}\right)=-1,\\\left({\frac {1+\vartheta }{3+\vartheta }}\right)&=-1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{3+4\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{1+5\vartheta ^{2}}}\right)\quad =+1,\end{aligned}}\right\}}
(12)
Wegen (11), (12) sind von den sechs Primzahlen in (10) nur die zwei letzten primär, und in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 32 und 33 nach dem
