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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/458

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primär und in Bestätigung des Satzes 38 finden wir in der Tat

Die Zahl ist in unzerlegbar und wegen nach ist mithin dem Satze 33 zufolge ein primäres Primideal; in der Tat ist quadratischer Rest nach wegen der Kongruenz

Beispiel 5. Der durch die -ten Einheitswurzeln bestimmte Körper ist ein biquadratischer zyklischer Körper mit der Klassenanzahl ; es sei eine von verschiedene -te Einheitswurzel, so daß

wird. Der Körper besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, welche durch die Einheiten , , , bestimmt sind.

Die Zahlen

(10)

sind Primzahlen ersten Grades in mit den Normen bez.

wir schließen hieraus mittels Satz 1 leicht

(11)

Die Einheit genügt nach den Primzahlen (10) bez. den Kongruenzen

Da nun im Bereich der rationalen Zahlen quadratischer Rest nach , quadratischer Rest nach , Nichtrest nach , Nichtrest nach , Rest nach , und Rest nach ist, so haben wir im Körper die Gleichungen

(12)

Wegen (11), (12) sind von den sechs Primzahlen in (10) nur die zwei letzten primär, und in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 32 und 33 nach dem