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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Die Primfaktoren von 37 sind ebenso wie diejenigen von 5 sämtlich nichtprimär; dagegen ist das Ideal (37) primär. Ferner sind wegen (3), (4), (5), (6) die Ideale

$((2+i)(6+i)),\,((1+\vartheta )(3-\vartheta )),\,((2-\vartheta )(2+\vartheta ))$

primär; in der Tat gelten in Übereinstimmung mit Satz 38 die Kongruenzen

${\begin{aligned}(2+i)(6+i)&\equiv (2+i)^{2},\quad \,\,(2^{2}),\\-(1+\vartheta )(3-\vartheta )&\equiv (1-\vartheta )^{2},\quad (2^{2}),\\-(2-\vartheta )(2+\vartheta )&\equiv \vartheta ^{2},\qquad \quad \,\,\,(2^{2}).\end{aligned}}$

Die Zahlen 3 und 7 sind in $k(\vartheta )$ unzerlegbar, und da $-3\equiv 1^{2}$ und $-7\equiv 1^{2}$ nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt, so müssen nach Satz 33 (3) und (7) primäre Primideale mit den Primärzahlen $-3$ und $-7$ sein. In der Tat sind die Einheiten $i,\vartheta$ beide in $k(\vartheta )$ quadratische Reste nach den Moduln (3) und (7); denn wir haben

$\left({\frac {i}{3}}\right)=i^{\frac {3^{4}-1}{2}}=+1$ und $\left({\frac {i}{7}}\right)=i^{\frac {7^{4}-1}{2}}=+1$

sowie ferner

$\vartheta \equiv (1-\vartheta +i\vartheta )^{2},(3)$ und $\vartheta \equiv (1+3i-3\vartheta -i\vartheta )^{2},$

(7).

Beispiel 4. Der biquadratische Körper $k({\sqrt[{4}]{-2}})$ hat die Klassenanzahl $h=1$; wir setzen $\vartheta ={\sqrt[{4}]{-2}}$, so daß $\vartheta ^{4}+2=0$ wird. Der Körper $k(\vartheta )$ besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $1$, $-1$, $\varepsilon$, $-\varepsilon$ bestimmt sind, wobei zur Abkürzung

$\varepsilon =1-\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}$

gesetzt ist.

Die Zahlen

$\left.{\begin{aligned}1-\vartheta ,\qquad \qquad 1+\vartheta ,\qquad \qquad 1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3},\\1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3},\qquad \qquad 1+2\vartheta -\vartheta ^{2}\end{aligned}}\right\}$

(7)

sind Primzahlen ersten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen bez.

${\begin{aligned}3,\qquad 3,\qquad 19,\\\qquad \qquad \qquad 59,\qquad 73;\\\end{aligned}}$

wir schließen hieraus mittels Satz 1

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1-\vartheta }}\right)=-1,\qquad \left({\frac {-1}{1+\vartheta }}\right)=-&1,\qquad \left({\frac {-1}{1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}}}\right)=-1,\\\left({\frac {-1}{1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)&=-1,\qquad \left({\frac {-1}{1+2\vartheta -\vartheta ^{2}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}$

(8)

Die Zahl $\vartheta$ genügt nach den Primzahlen in (7) bez. den Kongruenzen

${\begin{aligned}\vartheta \equiv 1,\qquad \qquad \vartheta \equiv -1,\qquad \qquad \qquad \vartheta \equiv -5,\\\qquad \qquad \vartheta \equiv \,\,\,6,\qquad \qquad \qquad \vartheta \equiv -31\\\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 439. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/456&oldid=- (Version vom 23.2.2020)