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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/448

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und diese lehrt die Richtigkeit des Satzes 36 für den an zweiter Stelle behandelten Fall.

Wir nehmen drittens an, es sei gleich einer Einheit in , während beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Wir betrachten den Relativkörper . Bedeuten, wie in unserem ersten Falle, diejenigen unter den Primfaktoren von , die in zu einer ungeraden Potenz aufgehen, und sind solche ganze Zahlen in , daß

wird, so finden wir eine Gleichung von der Gestalt

, (12)

wo eine Einheit in und eine ganze Zahl in bezeichnet. Nach Satz 4 sind die in der Relativdiskriminante des Körpers aufgehenden Primideale. Wir bezeichnen mit die Anzahl der Charaktere, die das Geschlecht einer Klasse in bestimmen, und es seien unter den Primidealen die Primideale , nach der in Definition 11 gemachten Vorschrift ausgewählt. Dann beweisen wir folgende Tatsache: wenn irgend Einheiten sind, deren Produkt ausfällt, so gibt es im Körper stets Ideale, deren Charaktere mit übereinstimmen. In der Tat nach Satz 18 gibt es in sicher ein Primideal , welches den Gleichungen

, (13)
(14)

genügt. Wegen (13) ist ein primäres Primideal; es sei eine Primärzahl von . Vermöge des Satzes 35 bez. der Relation (7) folgen aus (14) die Gleichungen

. (15)

Da sein soll, so erhalten wir aus (14)

und folglich ist wegen (12)

,

d. h. zerfällt in in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (15) mit überein.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 431. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/448&oldid=- (Version vom 23.2.2020)