und setzen wiederum
, ...,
, wo
, ...,
ganze Zahlen in
sind; sodann denken wir uns die sämtlichen Schlußfolgerungen dieses Beweises für das neue System von Primidealen
, ...,
wiederholt.
Auf diese Weise gelangen wir zu einem Ausdruck
,
|
|
in dem
eine gewisse Einheit und
, ...,
gewisse Exponenten
,
bedeuten. Hätten hier die Exponenten
, ...,
sämtlich den Wert
, so wäre wiederum
eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt; wir nehmen also an, daß diese Exponenten
, ...,
nicht sämtlich gleich
ausfallen und folgern dann wie vorhin, daß jedes Primideal
, für welches
ist, auch die Eigenschaft
besitzt.
Wir bezeichnen nun kurz mit
alle diejenigen Primideale in
, für welche
|
|
ist und mit
alle diejenigen Primideale in
, für welche zugleich
und
|
|
ausfällt, ferner mit
,
diejenigen Primideale, für welche
bez.
|
|
wird. Da die Zahlen
,
sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in
sind und bei unseren Annahmen das nämliche auch für das Produkt
gilt, so folgen aus Satz 17 die Gleichungen
|
(2)
|
hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale
bez.
zu erstrecken und
,
bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen
, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn
sich dem Werte
nähert.
Die Primideale
sind offenbar sämtlich von den Primidealen
verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale
,
sämtlich unter den Primidealen
vorkommen, so haben wir
|
|