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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/442

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und setzen wiederum , ..., , wo , ..., ganze Zahlen in sind; sodann denken wir uns die sämtlichen Schlußfolgerungen dieses Beweises für das neue System von Primidealen , ..., wiederholt.

Auf diese Weise gelangen wir zu einem Ausdruck

,

in dem eine gewisse Einheit und , ..., gewisse Exponenten , bedeuten. Hätten hier die Exponenten , ..., sämtlich den Wert , so wäre wiederum eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt; wir nehmen also an, daß diese Exponenten , ..., nicht sämtlich gleich ausfallen und folgern dann wie vorhin, daß jedes Primideal , für welches ist, auch die Eigenschaft besitzt.

Wir bezeichnen nun kurz mit alle diejenigen Primideale in , für welche

ist und mit alle diejenigen Primideale in , für welche zugleich

  und  

ausfällt, ferner mit , diejenigen Primideale, für welche

  bez.  

wird. Da die Zahlen , sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in sind und bei unseren Annahmen das nämliche auch für das Produkt gilt, so folgen aus Satz 17 die Gleichungen

(2)

hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale bez. zu erstrecken und , bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen , welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn sich dem Werte nähert.

Die Primideale sind offenbar sämtlich von den Primidealen verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale , sämtlich unter den Primidealen vorkommen, so haben wir

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 425. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/442&oldid=- (Version vom 23.2.2020)