ausfällt; endlich setzen wir
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,
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so daß
, ...,
gewisse ganze Zahlen des Körpers
bedeuten: dann gilt für jede beliebige zu
prime ganze Zahl
in
nach dem Modul
eine Kongruenz von der Gestalt
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,
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worin die Exponenten
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine geeignete ganze Zahl in
ist.
Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe
Exponenten
, ...,
,
, ...,
, die gewisse Werte
,
haben, aber nicht sämtlich gleich
sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl
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(1)
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dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent werde. Die Zahl
bestimmt, wie leicht ersichtlich, einen relativquadratischen Körper
in bezug auf
. Zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers
prim zu
und nach Satz 4 besitzt sie diejenigen von den Primidealen
, ...,
zu Faktoren, für welche in (1) die betreffenden Exponenten
, ...,
gleich
werden. Wegen Satz 27 ist die Anzahl
dieser Primideale mindestens gleich
; es seien etwa die
Primideale
, ...,
diejenigen, die in der Relativdiskriminante des Körpers
als Faktoren enthalten sind.
Ist nun
irgendeine Einheit in
, die gleich der Relativnorm einer Einheit in
gesetzt werden kann, und bringen wir
in die Gestalt
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,
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wo die Exponenten
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet, so folgt aus Definition 6 unmittelbar
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für
und, da nach Satz 9 mit Rücksicht auf unsere über
, ...,
gemachten Voraussetzungen
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