wird. In allen anderen Fällen, nämlich für
nach
und
nach
ist
quadratischer Nichtrest von
. Berücksichtigen wir, daß der nämliche biquadratische Körper
erhalten wird, wenn wir unter dem Wurzelzeichen statt
die Zahl
setzen, da ja diese Änderung einer Multiplikation der Wurzel mit
gleichkommt, so können wir offenbar die Zahl
stets so annehmen, daß beidemal das obere Vorzeichen zutrifft, d. h.
bezüglich
nach
wird. Es ergibt sich dann leicht das folgende Resultat:
Die Basis der ganzen Zahlen des Dirichletschen Körpers
besteht aus den Zahlen
,
,
,
, wo
folgende Bedeutung hat:
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Wir berechnen ferner den Ausdruck
; derselbe werde die Partialdiskriminante des Körpers
genannt:
|
|
Die gewöhnliche Diskriminante
des biquadratischen Körpers
ergibt sich gleich
, wo
den absoluten Betrag der Partialdiskriminante
bedeutet.
§ 2. Die Primideale des Dirichletschen Körpers.
Zunächst behandeln wir die von
verschiedenen und nicht in
aufgehenden Primzahlen des Körpers
; es sind unter diesen zwei Arten zu unterscheiden, nämlich erstens die Primzahlen
, in bezug auf welche
im Zahlengebiete des Körpers
quadratischer Rest ist und zweitens diejenigen Primzahlen
, in bezug auf welche
quadratischer Nichtrest ist.
Die Primzahlen
der ersten Art gestatten eine Zerlegung in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers
. Bedeutet nämlich
eine Zahl in
, welche der Kongruenz
nach dem Modul
genügt und wendet man eine früher von mir angegebene Bezeichnungsweise[1] an, der zu Folge (
,
, …) dasjenige Ideal darstellt, welches als der größte gemeinsame Teiler der Zahlen
,
, … definiert ist, so wird
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- ↑ Math. Ann. 44, 1. (Dieser Band, Abh. 3, S. 6.)