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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Zahlkörper. Es zeigt sich bei der Untersuchung, daß in diesem Körper die Idealklassen gewisser leicht zu kennzeichnender Geschlechter aus den Idealklassen der in ihm enthaltenen quadratischen Körper zusammensetzbar sind. Diese auf rein arithmetischem Wege gefundene Tatsache enthält zugleich den vorhin genannten Dirichletschen Satz über die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers.

§ 1. Die ganzen Zahlen des Dirichletschen Zahlkörpers.

Der durch die imaginäre Einheit $i$ bestimmte quadratische Zahlkörper werde $k$ genannt; die ganzen Zahlen dieses Körpers, d. h. die Zahlen von der Form $a+bi$, wo $a$ und $b$ ganze rationale Zahlen sind, mögen ganze imaginäre Zahlen heißen. Bedeutet $\delta$ eine ganze imaginäre Zahl, welche durch kein Quadrat einer ganzen imaginären Zahl teilbar und von $\pm 1$ verschieden ist, so bildet die Gesamtheit aller durch $i$ und ${\sqrt {\delta }}$ rational ausdrückbaren Zahlen einen Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper. Derselbe werde mit $K$ bezeichnet; $K$ ist der allgemeinste biquadratische Körper, welcher die imaginäre Einheit $i$ enthält.

Eine jede Zahl des Körpers $K$ läßt sich in die Gestalt

${\mathsf {A}}={\frac {\alpha +\beta {\sqrt {\delta }}}{\gamma }}$

bringen, wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ganze imaginäre Zahlen sind. Die Veränderung von ${\sqrt {\delta }}$ in $-{\sqrt {\delta }}$ werde durch das Operationssymbol $S$ bezeichnet.

Soll nun ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in $K$ sein, so sind notwendig die Zahlen

${\mathsf {A}}+S{\mathsf {A}}\quad {\frac {2\alpha }{\gamma }}$ und ${\mathsf {A}}\cdot S{\mathsf {A}}={\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta }{\gamma ^{2}}}$

ganze imaginäre Zahlen. Bezeichnet $\lambda$ eine in $\gamma$ aufgehende von $1+i$ verschiedene Primzahl in $k$, so folgt leicht, daß sowohl $\alpha$ als $\beta$ durch $\lambda$ teilbar sein müssen, und es kann mithin $\lambda$ in Zähler und Nenner von ${\mathsf {A}}$ fortgehoben werden. Wäre ferner $\gamma$ durch $(1+i)^{3}$ teilbar, so folgt in gleicher Weise, daß $\alpha$ und $\beta$ durch $1+i$ teilbar sind, so daß der Faktor $1+i$ in Zähler und Nenner von ${\mathsf {A}}$ hebbar ist. Es bleiben mithin nur die beiden Fälle $\gamma =1+i$ und $\gamma =2$ zu untersuchen übrig. Also folgt, daß in diesen beiden Fällen die Zahl $\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta$ durch $2$ bezüglich durch $4$ teilbar sein muß. Wäre $\beta$ durch $1+i$ teilbar, so würde mithin das gleiche für $\alpha$ folgen und dann wäre wiederum $1+i$ im Zähler und Nenner von ${\mathsf {A}}$ hebbar. Nehmen wir andrerseits $\beta$ nicht teilbar durch $1+i$ an, so folgt, daß $\delta \equiv {\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}$ nach $2$ bezüglich nach $4$ ist, d. h. $\delta$ muß im Zahlengebiete des Körpers $k$ quadratischer Rest von $2$ bezüglich von $4$ sein. Nun ist $\delta$ quadratischer Rest von $4$, sobald $\delta \equiv \pm 1$ nach $4$ wird, dagegen quadratischer Rest von $2$ und zugleich quadratischer Nichtrest von $4$, falls $\delta \equiv \pm 3+2i$ nach $4$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 25. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/42&oldid=- (Version vom 18.8.2016)