§ 20. Das primäre Primideal
und das Symbol
.
Es ist für die folgenden Entwicklungen von Nutzen, eine gewisse Art von Primidealen in
besonders zu benennen.
Definition 13. Ein solches zu
primes Primideal des Körpers
, nach welchem jede Einheit in
quadratischer Rest ist, möge ein primäres Primideal heißen; dagegen möge jedes solche Primideal nichtprimär genannt werden, nach welchem wenigstens eine Einheit in
quadratischer Nichtrest ist.
Wir führen für primäre Primideale noch ein neues Symbol ein.
Definition 14. Es sei
ein primäres Primideal und
ein beliebiges Ideal in
, es werde
gesetzt, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; dieselbe ist bis auf eine Einheit als Faktor eindeutig durch das Ideal
bestimmt. Das Symbol
ist folglich ein durch
und
völlig bestimmter Wert
oder
oder
; dieser Wert werde mit
bezeichnet, so daß das neue Symbol
durch die Gleichung
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definiert ist.
Sind
,
irgend zwei zu
prime Ideale in
, so gilt offenbar stets die Gleichung
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Ist
eine ganze Zahl in
und
das durch
dargestellte Hauptideal, so ist offenbar
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denn da
ungerade ist, so haben beide Seiten dieser Gleichung den Wert
.
In § 21 werden wir gewisse Systeme von
nichtprimären Primidealen des Körpers
untersuchen und in § 23 die wichtigste Eigenschaft der primären Primideale beweisen.
§ 21. Ein System von
nichtprimären Primidealen des Körpers
.
Es sei, wie zu Beginn von § 14,
, …,
ein volles System von Grundeinheiten in
; ferner sei
eine wie in § 11 bestimmte Einheitswurzel in
, so daß nach § 11 jede beliebige Einheit
des Körpers
sich auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt
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