des Körpers
mit
, ...,
und machen für die folgenden Definitionen und Beweise in § 17 bis § 19 die vorläufige Annahme, daß diese Primideale
, ...,
sämtlich zu
prim sind, oder, was nach Satz 5 im wesentlichen auf das nämliche hinauskommt, daß die Zahl
zu
prim ist und zugleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt. Erst im Laufe der weiteren Untersuchung werden wir diese Einschränkung aufheben.
Definition 11. Zu einer beliebigen ganzen von
verschiedenen Zahl
des Körpers
gehören bestimmte Werte der
einzelnen Symbole
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welche gemäß der Definition 6 gewisse
Einheiten
bedeuten; diese Einheiten sollen das Charakterensystem der Zahl
im Körper
heißen.
Um auch einem jeden Ideal
des Körpers
in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm
und dann ihre
-te Potenz
, wo
eine ganze Zahl in
sein soll. Nunmehr verstehen wir unter
eine Einheit in
. Haben dann für jede beliebige Einheit
alle
Symbole
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durchweg den Wert
, so setzen wir
und bezeichnen die
Einheitswurzeln
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als das Charakterensystem des Ideals
; dasselbe ist dann durch das Ideal
völlig eindeutig bestimmt.
Es sei andererseits eine spezielle Einheit
in
vorhanden, für welche wenigstens eines der
Symbole
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gleich
wird; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa
. Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten
in
, für welche
wird. Es sei unter diesen wieder eine solche Einheit
vorhanden, für welche wenigstens eines der
Symbole
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gleich
wird; dann können wir annehmen, es sei etwa
. Wir betrachten ferner alle diejenigen Einheiten
, für welche sowohl
als auch
wird, und sehen nach, ob unter diesen eine Einheit