ambigen Komplexen ist, die aus den Idealen
, ...,
,
, ...,
entspringen.
In der Tat, nehmen wir an, es seien diese Komplexe nicht voneinander unabhängig, so müßte für die betreffenden Ideale eine Relation von der Gestalt
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(3)
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gelten, worin die Exponenten
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
, jedoch nicht sämtlich den Wert
haben, ferner
ein Ideal in
und
eine ganze Zahl in
bedeutet. Aus (3) folgt leicht wegen (2) die Gleichung
,
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(4)
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wo
eine gewisse Einheit in
ist. Indem wir von beiden Seiten der Formel (4) die Relativnorm bilden, erhalten wir mit Rücksicht auf (1)
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und hieraus ersehen wir, daß die Einheit
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(5)
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die Relativnorm einer Einheit in
ist. Wir dürfen folglich
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(6)
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setzen, wo
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet. Aus (5) und (6) erhalten wir die Gleichung
.
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Wegen der Unabhängigkeit der durch
, ...,
,
, ...,
bestimmten Einheitenverbände ist diese Gleichung nur möglich, wenn sämtliche Exponenten
, ...,
,
, ...,
gerade und also gleich
sind. Hierdurch erhält die Relation (3) die Gestalt
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und diese Relation erfordert wegen der Unabhängigkeit der aus
, ...,
entspringenden Komplexe, daß auch sämtliche Exponenten
, ...,
gleich
sind – eine Folgerung, die unserer ursprünglichen Annahme über die Exponenten in der Relation (3) widerspricht.
Es bleibt noch übrig, den Nachweis dafür zu führen, daß jeder ambige Komplex
als Produkt von solchen Komplexen dargestellt werden kann, die aus den Idealen
, ...,
,
, ...,
entspringen. Ist
ein beliebiges Ideal des Komplexes
, so gilt wegen Satz 21 eine Gleichung von der Gestalt
,
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(7)
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