Satz 17. (Hilfssatz). Es seien
, ...,
irgend
ganze Zahlen in
, welche die Bedingung erfüllen, daß kein aus denselben zu bildendes Produkt gleich dem Quadrat einer Zahl in
wird; es seien ferner
, ...,
nach Belieben vorgeschriebene Einheiten
: dann gilt eine Gleichung von der Gestalt
, ;
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hierbei ist die Summe linker Hand über alle diejenigen Primideale
des Körpers
zu erstrecken, die den Bedingungen
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genügen und rechter Hand bedeutet
eine Funktion der reellen Veränderlichen
, welche sich für
einem endlichen Grenzwert nähert.
Beweis. Wir haben
,
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wobei die Summen über alle Primideale
in
zu erstrecken sind und
eine für
endlich bleibende Funktion der reellen Veränderlichen
bedeutet. Da andererseits der Ausdruck
für
endlich und von
verschieden bleibt, so folgt, daß in der Gleichung
, ,
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(4)
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wiederum eine für
endlich bleibende Funktion von
bedeutet.
Wir setzen nun in der über alle Primideale
zu erstreckenden Summe
,
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(5)
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den Wert
ein und multiplizieren die so entstehende Gleichung mit dem Faktor
. Wir erteilen dann jedem der
Exponenten
,
, ...,
nacheinander die Werte
,
, jedoch so, daß das eine Wertsystem
ausgeschlossen wird. Nach Satz 16 bleiben die sämtlichen
aus (5) in dieser Weise entstehenden Ausdrücke für
endlich. Werden dieselben zu (4) addiert, so erhalten wir daher eine Gleichung von der Form
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,
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(6)
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wo
wiederum eine für
endlich bleibende Funktion bedeutet.