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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/395

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vorkommt: dann ist im Körper in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent ausfällt oder nicht.

Beweis. Ist in weiter zerlegbar und bedeutet einen Primfaktor von , so schließen wir aus der Gleichheit der Norm in mit der Norm in , wie im Beweise des Satzes 7, daß jede ganze Zahl in einer ganzen Zahl in nach kongruent sein muß. Nach Voraussetzung gibt es eine ganze Zahl in , so daß nach ausfällt; ist dann irgendeine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl und weiter eine durch teilbare, aber zu prime ganze Zahl in , so stellt, wie wir dem Beweise des Satzes 4 entnehmen, der Ausdruck eine ganze Zahl in dar. Es gibt also nach dem vorhin Bewiesenen eine ganze Zahl in , für welche

wird. Aus dieser Kongruenz schließen wir

.

Mit Rücksicht auf den Umstand, daß zu prim ist, können wir in dieser Kongruenz den rechts stehenden Ausdruck durch eine ganze Zahl des Körpers ersetzen und erhalten dann

oder . (1)

Da ferner nach dem Modul 2 und folglich auch nach ausfällt, so gilt auch die Kongruenz

(2)

und durch Multiplikation erhalten wir schließlich aus den beiden Kongruenzen (1) und (2):

.

Da die linke Seite dieser Kongruenz eine ganze Zahl in ist, so folgt auch

oder .

womit eine Aussage des Satzes 8 bewiesen ist.

Nehmen wir nun umgekehrt an, es sei nach , wobei eine ganze Zahl in ist, so erkennen wir leicht die Richtigkeit der Gleichung

und hier sind die beiden Primideale rechter Hand wegen

in der Tat voneinander verschieden; damit ist der Satz 8 vollständig bewiesen.