Einheitswurzeln, deren Produkt gleich
ist, so können wir genau wie beim Beweise des Satzes 164 (S. 329) nachweisen, daß es stets Ideale in
gibt, deren Charaktere mit
, …,
übereinstimmen. Dabei ist nur zu den Bedingungen (155), (156), denen das dort mit
bezeichnete Primideal genügen soll, noch das Bedingungssystem
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hinzuzunehmen, wo
, …,
die in §166 bestimmten und dort mit
, …,
bezeichneten Einheiten sind. Auf diese Weise wird nämlich erreicht, daß
obenein noch ein Primideal zweiter Art wird, und wegen dieses Umstandes dürfen wir mit Rücksicht auf die Hilfssätze 45 und 47 das Reziprozitätsgesetz in der nämlichen Weise anwenden, wie dies beim Beweise des Satzes 164 geschehen ist. Statt des dort benutzten Satzes 163 ziehen wir hier die Formel (175) heran. Zugleich folgt, daß in
wirklich
Geschlechter vorhanden sind, und damit zugleich, daß für jedes derselben das Produkt der
Charaktere stets gleich
sein muß. Diese Tatsache bringen wir nun zur Anwendung, um den Hilfssatz 48 für den Fall zu beweisen, daß
eine Einheit ist, und weiter für den Fall, daß
eine Primärzahl eines Primideals erster Art ist.
Es seien wiederum
, …,
, die soeben erwähnten
Einheiten; ferner
, …,
, wie in § 149, die
in der Relativdiskriminante von
aufgehenden verschiedenen Primideale, und es mögen darunter
,
, …,
wie in § 149 ausgewählt sein; ferner seien
, …,
Primärzahlen bez. von
, …,
; endlich sei
eine beliebige Einheit in
. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein Primideal
, für welches bei einem gewissen zu
primen Exponenten
,
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(176)
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,
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(177)
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wird. Es sei
eine Primärzahl von
. Wegen der Gleichung
zerfällt
im Körper
, und wegen der übrigen Gleichungen (176) ist
ein Primideal zweiter Art. Die
Charaktere eines Primfaktors von
haben, da, wie man aus (177) und durch die Hilfssätze 45 und 47 erkennt,
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(178)
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ist, folgende Werte:
, .
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