Ist
eine den einmal überstrichenen Verzweigungskörper
bestimmende Zahl, so genügt
einer Abelschen Gleichung
-ten Grades von der Gestalt
|
,
|
deren Koeffizienten Zahlen des Körpers
sind und deren Gruppe lediglich Substitutionen
-ten Grades enthält. Es wird
, wo
Primideal des Körpers
ist. Der Exponent
überschreitet keinenfalls die Zahl
.
Nunmehr ist ersichtlich, in welcher Weise das eingeschlagene Verfahren fortzusetzen ist. Bedeutet
den höchsten Exponenten von der Art, daß für jede Substitution
die sämtlichen Zahlen des Körpers
der Kongruenz
|
|
genügen, so bestimmen wir alle diejenigen Substitutionen
, für Welche
|
|
wird. Dieselben bilden eine invariante Untergruppe
der Gruppe
, die zweimal überstrichene Verzweigungsgruppe; ihr Grad sei
; wir setzen
. Es gelten die Sätze:
Ist
eine den zweimal überstrichenen Verzweigungskörper
bestimmende Zahl, so genügt
einer Abelschen Gleichung
-ten Grades von der Gestalt
|
|
deren Koeffizienten Zahlen des Körpers
sind und deren Gruppe lediglich Substitutionen
-ten Grades enthält. Es wird
, wo
Primideal des Körpers
ist. Der Exponent
überschreitet keinenfalls die Zahl
.
So fortfahrend gelangen wir zu einer dreimal überstrichenen Verzweigungsgruppe
usw. Ist etwa die
mal überstrichene Verzweigungsgruppe diejenige, welche lediglich aus der Substitution
besteht, so ist der Körper
selbst der
mal überstrichene Verzweigungskörper und die Struktur der Verzweigungsgruppe
ist dann vollständig bekannt.
Durch die vorstehende Entwicklung erlangen wir einen vollständigen Einblick in die bei der Zerlegung einer rationalen Primzahl
sich abspielenden
Vorgänge:
Die rationale Primzahl
wird zunächst im Zerlegungskörper in der Form
zerlegt, wo
ein Primideal ersten Grades und
ein durch
nicht teilbares Ideal des Zerlegungskörpers ist. Der Zerlegungskörper ist als Unterkörper in dem Trägheitskörper enthalten, welcher seinerseits keine weitere Zerlegung von
bewirkt, sondern lediglich dieses Ideal
zu einem Primideal
-ten Grades erhebt. Ist der Körper
selbst der Zerlegungskörper oder der Trägheitskörper, so ist nach diesem ersten Schritte die Zerlegung bereits abgeschlossen. Im anderen Falle läßt sich
in gleiche Faktoren spalten, und zwar