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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/349

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Satz 166. Jeder Komplex des Hauptgeschlechtes in einem regulären Kummerschen Körper ist die -te symbolische Potenz eines Komplexes in , d. h. jede Klasse des Hauptgeschlechtes in einem regulären Kummerschen Körper ist gleich dem Produkt aus der -ten symbolischen Potenz einer Klasse und aus einer solchen Klasse, welche Ideale des Kreiskörpers enthält.

Beweis. In dem Beweise (S. 312) zu Hilfssatz 34 ist die Gleichung abgeleitet; hierbei bedeutet die Anzahl der ambigen Komplexe, die Anzahl derjenigen Komplexe, welche gleich -ten symbolischen Potenzen vpn Komplexen sind, ferner bedeutet die Anzahl der Geschlechter und die Anzahl der Komplexe des Hauptgeschlechtes. Da nach Satz 165 ist, so folgt , und damit ist bewiesen, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes die -te symbolische Potenz eines Komplexes ist.

§ 165. Der Satz von den Relativnormen der Zahlen eines regulären Kummerschen Körpers.

Satz 167. Wenn , , zwei ganze Zahlen des regulären Kreiskörpers bedeuten, von denen nicht die -te Potenz einer ganzen Zahl in ist, und welche für jedes Primideal in die Bedingung

,

erfüllen, so ist die Zahl stets gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Kummerschen Körpers .

Beweis. Wir beweisen diesen Satz zunächst für den Fall, daß eine Einheit in ist. Es mögen wiederum und für den Kummerschen Körper die Bedeutung wie in Satz 159 (S. 302) haben; im Beweise zu Satz 165 ist gezeigt worden, daß sein muß, d. h. es ist . Andererseits betrachten wir die Einheiten , …, , die in § 149 (S. 307) bestimmt worden sind. Wegen der Gleichungen (140) (S. 307) kann ein Produkt aus Potenzen dieser Einheiten nur dann die -te Potenz einer Einheit in sein, wenn die Potenzexponenten sämtlich durch teilbar sind. Es müssen sich daher, da die Gesamtheit aller Einheiten in eine Schar vom Grade bildet, weiter Einheiten , , …, bestimmen lassen, so daß überhaupt jede Einheit in sich in der Gestalt

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 332. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/349&oldid=- (Version vom 11.7.2022)