Primideale und außerdem das Primideal
durchläuft. Ferner ist, wenn
,
, …,
die außer
,
, …,
in der Relativdiskriminante aufgehenden Primideale bedeuten, nach § 149
, .
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(154)
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Kommt nun in der Relativdiskriminante des Körpers
das Primideal
vor, so ist wegen (153) schon hiermit bewiesen, daß das Produkt sämtlicher
Charaktere gleich
ist. Kommt andererseits das Primideal
in jener Relativdiskriminante nicht vor, so ist nach Satz 150 (S. 257) die Zahl
Normenrest des Körpers
nach
, und folglich ist nach Satz 151 (S. 272)
; damit erkennen wir aus (153) und (154) auch in diesem Falle den einen Teil der Aussage des Satzes 164 als richtig.
Den Beweis für den anderen Teil der Aussage des Satzes 164 führen wir der Kürze wegen nur in dem Fall, daß die Relativdiskriminante des Körpers
den Primfaktor
nicht enthält. Es seien dann wiederum
, …,
die
in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale des Körpers
, und
, …,
seien bezüglich Primärzahlen von
, …,
; ferner gehe allgemein
in
genau
mal auf, und es sei
dann eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft
nach
. Endlich mögen
, …,
beliebig gewählte
der Bedingung
genügende
-te Einheitswurzeln sein; nach Satz 152 (S. 276) gibt es dann stets in
ein Primideal
, das in
nicht aufgeht und überdies die Forderungen
, ,
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(155)
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,
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(156)
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für irgendeinen Exponenten
aus der Reihe
,
, …,
erfüllt. Ist
eine Primärzahl von
, so folgt wegen (155) mit Benutzung von Satz 161 (S. 312)
, .
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(157)
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Ferner ergibt sich wegen (156) in ähnlicher Weise
, .
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(158)
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Da
ist, so ist wegen (157) und (158)
,
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(159)
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wenn hierin
alle Primideale
, …,
durchläuft. Bedeutet nun
ein von
,
, …,
verschiedenes Primideal in
, so ist gemäß Satz 150