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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/345

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34. Die Anzahl der vorhandenen Geschlechter im regulären Kummerschen Körper.

§ 162. Ein Satz über das Symbol

Die wichtigste Aufgabe in der Theorie der Geschlechter eines Kummerschen Körpers betrifft die Ermittlung der Anzahl der wirklich vorhandenen Geschlechter. Wir beweisen hier zunächst einen Satz, welcher dem Hilfssatz 14 (S. 171) aus der Theorie des quadratischen Körpers entspricht.

Satz 163. Wenn und zwei beliebige ganze Zahlen eines regulären Kreiskörpers bedeuten, so ist stets

wenn das Produkt linker Hand über sämtliche Primideale in erstreckt wird.

Beweis. Es sei die Anzahl der Idealklassen in und eine ganze rationale positive Zahl mit der Kongruenzeigenschaft nach Wir setzen und so daß und ganze rationale Exponenten und gewisse von verschiedene Primideale in sind. Bedeuten ferner Primärzahlen der Prim-Ideale bez. und zwar derart, daß

gilt, und wird noch gesetzt, so bestehen zwei Gleichungen von der Gestalt:

(150)

worin und Einheiten in sind. Wenn ein beliebiges Primideal bedeutet, so ist allgemein

(151)

Es seien nun zwei voneinander und von verschiedene Primideale in und bez. Primärzahlen von ferner seien beliebige Einheiten in Aus Hilfssatz 36 (S. 313) und aus Satz 161 (S. 312) folgen dann leicht die Formeln

(152)

Ist ein von verschiedenes Primideal, welches nicht in aufgeht, so ist nach Satz 148 (S. 251) die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers zu prim; fällt dann auch zu prim aus, so ist nach Satz 150 (S. 257) die Zahl Normenrest des Kummerschen Körpers und daher gilt nach

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 328. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/345&oldid=- (Version vom 31.7.2018)