Dann besteht das Charakterensystem des Ideals
in
aus den beiden Charakteren
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(148)
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Da der erste Charakter wegen
dem Satze 162 (S.319) gemäß notwendig ebenfalls verschieden von
ist, so bestimmen die Ideale
,
, ⋯,
lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie bereits gezeigt worden ist, auch hier nicht mehr als
Geschlechter. Wegen
ist
ein Primideal erster Art; es gilt daher nach dem vorigen einerseits für die Primideale
,
, andererseits für die Primideale
,
das Reziprozitätsgesetz, und das Produkt der beiden Charaktere (148) wird folglich
.
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(149)
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Da jedes beliebige Ideal in
einem jener
Geschlechter angehören muß, so folgt aus (149), daß für jedes Ideal das Produkt seiner beiden Charaktere gleich
sein muß. Nun ist das Ideal
gleich der
-ten Potenz eines Primideals
in
. Die beiden Charaktere von
in diesem Körper sind alsdann
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und da ihr Produkt gleich
sein soll, so erhalten wir
.
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Hiermit ist das Reziprozitätsgesetz für zwei Primideale der zweiten Art bewiesen, und nunmehr ist der Beweis des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale vollständig erbracht.
§ 161. Beweis des zweiten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.
Es sei zunächst
ein Primideal erster Art und
eine Primärzahl von
. Wir bestimmen eine Einheit
in
derart, daß
wird, und betrachten dann den durch
und
bestimmten Kummerschen Körper. Wegen
ist
in diesem Körper weiter zerlegbar; es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper. Wir erkennen, daß das Charakterensystem des Ideals
aus dem