Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/329

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

Gleichung mit der vorhin gefundenen $M=gf$ liefert $af'=gf,$ und wegen $f'\leqq f$ folgt hieraus $g\leqq a,$ d. h. $g\leqq l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}},$ und hiermit ist der Hilfssatz 34 bewiesen.

Aus den beiden Hilfssätzen 33 und 34 folgt sofort die weitere Tatsache:

Hilfssatz 35. Wenn in einem regulären Kummerschen Körper $r$ die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen, so ist die Anzahl der Geschlechter jenes Körpers $g\leqq l^{r-1}.$

33. Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste im regulären Kreiskörper.

§ 154. Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste und die Ergänzungssätze.

Die bisher dargelegte Theorie des Kummerschen Körpers liefert uns die Hilfsmittel zum Beweise gewisser fundamentaler Gesetze über $l$-te Potenzreste im regulären Kreiskörper, welche den Reziprozitätsgesetzen für quadratische Reste im Gebiete der rationalen Zahlen entsprechen, und welche das in § 115 entwickelte Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz (Satz 140) zwischen einer beliebigen Zahl in $k(\zeta )$ und einer rationalen Zahl als besonderen Fall enthalten. Um diese Gesetze für $l$-te Potenzreste in ihrer einfachsten Gestalt aussprechen zu können, verallgemeinern wir das in § 113 und § 127 definierte Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ in folgender Weise:

Es sei $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta );$ dann bestimmen wir eine ganze rationale positive Zahl $h^{\ast }$ so, daß $hh^{\ast }\equiv 1$ nach $l$ wird. Bedeutet dann ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges, von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal in $k(\zeta ),$ so ist stets \mathfrak $p^{hh^{\ast }}$ ein Hauptideal in $k(\zeta );$ wir setzen ${\mathfrak {p}}^{hh^{\ast }}=(\pi ),$ so daß $\pi$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ ist, und nehmen hierin, was dem Satze 157 zufolge geschehen kann, die Zahl $\pi$ primär an. Eine solche ganze Zahl $\pi$ heiße eine Primärzahl von ${\boldsymbol {{\mathfrak {p}}.}}$ Es hat dann, da jede primäre Einheit in $k(\zeta )$ zufolge einer Bemerkung auf S. 288 die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist, $\pi$ in bezug auf jedes von ${\mathfrak {p}}$ verschiedene Primideal einen völlig bestimmten Potenzcharakter. Bedeutet nun ${\mathfrak {q}}$ ein beliebiges, von ${\mathfrak {l}}$ und von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes Primideal in $k(\zeta ),$ so wird das Symbol $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$ durch die Formel

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}$

definiert. Das Symbol $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$ ist somit eine durch die zwei Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ eindeutig bestimmte $l$-te Einheitswurzel. Mit Benutzung dieses Symbols sprechen wir folgende Tatsache aus:

Satz 161. Sind ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ voneinander und von dem Primideal ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideale des regulären Kreiskörpers $k(\zeta ),$ so gilt die Regel

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\},$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 312. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/329&oldid=- (Version vom 15.11.2017)