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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/318

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Durch die geeignete Weiterführung des oben geschilderten Verfahrens gelangen wir zum vollständigen Beweise des Satzes 158.

Wir hatten oben den Fall ausgeschlossen, daß der Kummersche Körper durch eine Zahl bestimmt werden kann, wo eine Einheit in bedeutet; wir haben daher diesen Fall jetzt noch besonders zu behandeln. Die Relativdiskriminante des Körpers kann alsdann nach Satz 148 keine anderen Primfaktoren als enthalten; nach Satz 94 und Satz 153 muß sie den Faktor wirklich enthalten. Wir haben dann in eine Zerlegung , und es ist das einzige ambige Primideal des Körpers , Es seien wieder , …, bez. die Relativnormen der relativen Grundeinheiten , …, . Da der Grad einer Einheitenschar in stets ist, so besteht sicher eine Relation von der Gestalt:

, (136)

wo , …, , ganze rationale, nicht sämtlich durch teilbare Exponenten sind, und wo eine Einheit in bedeutet. Setzen wir

, (137)

so ist und folglich nach Satz 90 , wo eine geeignete ganze Zahl in bedeutet; wir können dann setzen, wo eine Potenz des ambigen Primideals und ein Ideal in bedeutet. Der Exponent ist dann sicher nicht durch teilbar; denn sonst wäre wegen und mit Rücksicht auf Satz 153 in solcher Weise, daß eine Einheit in und eine Zahl in bezeichnet; hieraus aber würden wir entnehmen und dadurch mit Rücksicht auf (137) in einen Widerspruch mit der Definition der relativen Grundeinheiten in § 55 geraten. Aus der Gleichung schließen wir , daraus , und, da zu prim ist, , d. h. das einzige im gegenwärtigen Fall vorhandene ambige Ideal ist ein Hauptideal; der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar ist mithin gleich .

Wir nehmen nun an, von den Exponenten , …, sei etwa prim zu , und beweisen dann, daß keine Relation

(138)