Durch die geeignete Weiterführung des oben geschilderten Verfahrens gelangen wir zum vollständigen Beweise des Satzes 158.
Wir hatten oben den Fall ausgeschlossen, daß der Kummersche Körper
durch eine Zahl
bestimmt werden kann, wo
eine Einheit in
bedeutet; wir haben daher diesen Fall jetzt noch besonders zu behandeln. Die Relativdiskriminante des Körpers
kann alsdann nach Satz 148 keine anderen Primfaktoren als
enthalten; nach Satz 94 und Satz 153 muß sie den Faktor
wirklich enthalten. Wir haben dann in
eine Zerlegung
, und es ist
das einzige ambige Primideal des Körpers
, Es seien wieder
, …,
bez. die Relativnormen der
relativen Grundeinheiten
, …,
. Da der Grad einer Einheitenschar in
stets
ist, so besteht sicher eine Relation von der Gestalt:
,
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(136)
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wo
, …,
,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Exponenten sind, und wo
eine Einheit in
bedeutet. Setzen wir
,
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(137)
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so ist
und folglich nach Satz 90
, wo
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet; wir können dann
setzen, wo
eine Potenz des ambigen Primideals
und
ein Ideal in
bedeutet. Der Exponent
ist dann sicher nicht durch
teilbar; denn sonst wäre wegen
und mit Rücksicht auf Satz 153
in solcher Weise, daß
eine Einheit in
und
eine Zahl in
bezeichnet; hieraus aber würden wir
entnehmen und dadurch mit Rücksicht auf (137) in einen Widerspruch mit der Definition der relativen Grundeinheiten in § 55 geraten. Aus der Gleichung
schließen wir
, daraus
,
und, da
zu
prim ist,
, d. h. das einzige im gegenwärtigen Fall vorhandene ambige Ideal
ist ein Hauptideal; der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar ist mithin gleich
.
Wir nehmen nun an, von den Exponenten
, …,
sei etwa
prim zu
, und beweisen dann, daß keine Relation
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(138)
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