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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/317

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nach Satz 90 (S. 149) und setzen, wobei und ganze Zahlen in bedeuten. Bestimmen wir dann zunächst, wie im vorigen Falle, eine ganze rationale positive Zahl derart, daß den Faktor zu einem durch teilbaren Exponenten erhoben enthält, so kommt, wie die dortigen Überlegungen zeigen, in mindestens eines der ambigen Primideale , …, zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent nicht durch teilbar ist; es treffe dies etwa für zu. Wir bestimmen dann zwei ganze rationale positive Zahlen und so, daß die Zahl die beiden Faktoren und zu Exponenten erhoben enthält, die durch teilbar sind. Alsdann können in dieser Zahl die Faktoren , …, nicht sämtlich zu solchen Potenzen erhoben vorkommen, deren Exponenten durch teilbar sind. Denn wäre dies der Fall, so könnten wir unter Benutzung von Satz 153 setzen, so daß eine Einheit in und eine ganze Zahl in ist. Berücksichtigen wir dann die Gleichungen , , , so wäre

;

wegen (134) würde hieraus folgen:

, (135)

wo eine gewisse Einheit in bedeutet; diese Relation widerspräche aber der Definition der relativen Grundeinheiten nach § 55; denn da jede der beiden Zahlen , zu prim ist, so sind die Exponenten von , in (135) sicher niemals beide zugleich durch teilbar. Kommt nun in etwa zu einem nicht durch teilbaren Exponenten erhoben vor, so entnehmen wir aus diesem Umstande, daß die Klasse sich als Produkt von Potenzen der Klassen , …, und einer solchen Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers enthält.

Durch die entsprechenden Überlegungen wie im vorigen Falle kann man nun unter der gegenwärtigen Annahme beweisen, daß aus den Idealklassen , …, keine Klasse

hervorgehen kann, welche Ideale in enthält, während die Exponenten , …, ganze rationale, nicht sämtlich durch teilbare Zahlen sind. Wir ersehen dann, daß bei der gegenwärtigen Annahme , …, eine Basis der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar bilden; der Grad dieser Klassenschar beträgt folglich , wie es dem Satz 158 entspricht.