Wir beweisen jetzt, daß aus den Idealklassen
, …,
allein keine Klasse von der Gestalt
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(126)
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hervorgehen kann, welche Ideale des Körpers
enthält, während
, …,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Exponenten sind. In der Tat, auf Grund der Relation (126) würden wir eine Gleichung
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(127)
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aufstellen können, so daß
ein Ideal des Körpers
und
eine ganze Zahl des Körpers
ist; hieraus schließen wir dann, daß
eine Einheit in
sein müßte. Auf diese Einheit
wenden wir den Hilfssatz 31 an und erhalten so eine Gleichung von der Gestalt
,
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(128)
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wo
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl,
, …,
ganzzahlige Funktionen von
und
eine Einheit in
bedeuten. Da offenbar
ist, so ergibt sich durch Bildung der Relativnorm auf beiden Seiten von (128) die Gleichung
.
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Da
, …,
eine Basis einer Einheitenschar bilden sollen, so müssen die ganzen rationalen Zahlen
, …,
sämtlich durch
und demnach die ganzen Zahlen
, …,
sämtlich durch
teilbar sein. Setzen wir
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und
,
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so wird
,
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wo
wieder eine Einheit in
bedeutet. Durch Bildung der Relativnorm folgt aus letzterer Gleichung
, d. h.
ist eine
-te Einheitswurzel, etwa
. Berücksichtigen wir
, so haben wir
,
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d. h. der Ausdruck
stellt eine Zahl in
dar. Da nun
wegen