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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/312

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Klassen zu gelangen, vor allem die aus den ambigen Idealen entspringende Klassenschar zu untersuchen. Wir beweisen die wichtige Tatsache:

Satz 158. Es sei die Anzahl der verschiedenen Primideale, welche in der Relativdiskriminante des regulären Kummerschen Zahlkörpers vom Relativgrade aufgehen; ferner mögen die Relativnormen aller Einheiten von für eine Einheitenschar vom Grade bilden: betrachten wir dann alle diejenigen Klassen, in welchen sei es ambige Ideale des Körpers , sei es Produkte von ambigen Idealen in mit Idealen in vorkommen, so bilden diese eine Klassenschar vom Grade

.

Beweis. Wir setzen im folgenden zunächst voraus, daß die Zahl nicht von der Gestalt sei, wo eine Einheit und eine Zahl in bedeuten soll. Es ist dann jede Einheit des Körpers , deren -te Potenz in liegt, notwendig selbst in gelegen. Nunmehr mögen , …, ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers in bezug auf und

deren Relativnormen bedeuten.

Wir nehmen erstens an, daß der äußerste Fall eintritt. Aus Hilfssatz 32 schließen wir dann, daß die Einheiten , …, eine Basis derjenigen Einheitenschar bilden, welche aus den Relativnormen aller Einheiten in besteht. Andererseits fassen wir die ambigen Primideale , …, des Körpers ins Auge; dieselben bestimmen ambige Idealklassen, die wir bez. , …, nennen wollen. Um für die aus diesen Klassen entspringende Klassenschar den Grad zu bestimmen, setzen wir

, (125)

wo , …, gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten, und wo ein Ideal in ist. Wegen der zu Anfang getroffenen Voraussetzung über ist wenigstens einer der Exponenten , …, nicht durch teilbar; es sei etwa prim zu . Wir entnehmen aus der Gleichung (125), daß

eine solche Klasse ist, die Ideale des Körpers enthält; da ebenfalls eine Klasse dieser Art ist, so folgt hieraus sofort, daß die Klasse sich als Produkt von Potenzen der Klassen , …, und einer Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers enthält.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 295. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/312&oldid=- (Version vom 29.1.2017)