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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/292

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gründen, wo eine zu prime ganze Zahl in ein Normenrest des Körpers nach und beliebige ganze Zahlen in sein sollen (vgl. § 166). Ich habe jedoch gegenwärtig die obige Definition (82) gewählt, welche unmittelbar an die Entwicklungen von Kummer anknüpft.

Schließlich sei hier bemerkt, daß nunmehr das zu Anfang des § 131 gesteckte Ziel erreicht ist; wenn nämlich eine beliebige Potenz eines Primideals bedeutet, wobei im Falle der Exponent sei, so kann offenbar ein vollständiges System zu primer und nach inkongruenter Zahlen in mit Rücksicht auf die Werte, die das Symbol annimmt, in Abteilungen von gleich vielen Zahlen gesondert werden, von denen die eine Abteilung die sämtlichen im System befindlichen Normenreste des Kummerschen Körpers nach darstellt.

30. Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren im Kummersehen Körper.

§ 134. Der Grenzwert eines gewissen unendlichen Produktes.

Nachdem wir in § 128 die Primideale des Kummerschen Körpers sämtlich aufgestellt haben, sind wir imstande, diejenigen Untersuchungen für den Kummerschen Körper durchzuführen, welche den in § 79 und in § 80 für den quadratischen Körper behandelten Fragen entsprechen. Wir leiten vor allem die folgende wichtige Tatsache ab:

Hilfssatz 27. Bedeutet eine ungerade rationale Primzahl und in dem durch bestimmten Kreiskörper eine beliebige ganze Zahl, nur nicht die -te Potenz einer in liegenden Zahl, so ist der Grenzwert

stets eine endliche und von verschiedene Größe; dabei soll das Produkt über alle Primideale des Körpers und das Produkt über alle Exponenten aus der Reihe erstreckt werden [Kummer (20[1])].

Beweis. Fassen wir den durch und bestimmten Kummerschen Körper ins Auge und bezeichnen wir die dem Satze 56 gemäß gebildete Funktion für denselben mit , so ist nach § 27

,

wo das Produkt über alle Primideale in zu erstrecken ist und die in genommene Norm von bedeutet. Ordnen wir dieses Produkt nach den Primidealen des Körpers ‚ aus welchen die Primideale herstammen,


  1. [360] Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 275. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/292&oldid=- (Version vom 31.7.2018)