Satz 3, daß eines der Primideale
,
,
, …,
nach
ist. Es sei etwa
nach
; dann wird, weil
ein Primideal ist, notwendig
. Nun konstruiere man nach Satz III ein Ideal
von der Art, daß
gleich einem Hauptideal
wird und multipliziere die beiden obigen Darstellungen von
mit
. Wegen
folgt dann
|
|
und hieraus nach Satz 4:
|
.
|
Auf diese doppelte Zerlegung des Ideals
wende man das eben eingeschlagene Verfahren von neuem an: man erkennt so schließlich die Identität der beiden vorgelegten Darstellungen des Ideals
.
V. Ein jedes Ideal
läßt sich stets als Produkt von Primidealen darstellen.
Ist
ein Primideal, nach welchem
wird, so bestimme man nach Satz III ein Ideal
derart, daß
gleich einem Hauptideal
wird. Durch Multiplikation jener Kongruenz mit
folgt dann
nach dem Ideal
und gemäß Satz 4 ist daher
. Nach Multiplikation dieser Gleichung mit
und Division durch
ergibt sich
. Wenden wir auf das Ideal
das nämliche Verfahren an, wie soeben auf
, so ergibt sich
, wo
ein Primideal bedeutet, nach welchem
ist. In gleicher Weise erhalten wir
‚ wo
ein Primideal bedeutet, nach welchem
ist usw. Die Einsetzung dieser Werte von
,
, … liefert für das Ideal
der Reihe nach die Darstellungen
,
, …. Nun gibt es nach Satz 1 nur eine endliche Anzahl von Idealen, nach denen
ist. Ist
diese Anzahl, so wird jedenfalls das eingeschlagene Verfahren nach
-maliger Anwendung abbrechen. Denn es ist
nach den Idealen
,
,
, … und diese Ideale sind nach IV sämtlich voneinander verschieden. Nach Beendigung des Verfahrens erhalten wir für das Ideal
die verlangte Zerlegung:
|
,
|
wo
,
,
, …,
Primideale sind.
Damit ist der Beweis des Satzes von der Zerlegung in Primideale für einen Galoisschen Körper vollständig geführt.
Wir betrachten nun einen beliebigen Körper niederen als
-ten Grades, dessen Zahlen sämtlich auch Zahlen des eben behandelten Galoisschen Körpers sind und bezeichnen zur Unterscheidung die Zahlen und Ideale dieses niederen Körpers mit großen Buchstaben. Wir denken uns die Zahlen des Galoisschen Körpers als rationale Funktionen der Wurzel
einer irreduziblen Gleichung
-ten Grades dargestellt und bezeichnen dann die übrigen
Wurzeln dieser Gleichung mit
,
, …,
. Diese Wurzeln sind dann rationale Funktionen von
und die Einsetzung derselben an Stelle von
bewirkt den Übergang zu den konjugierten Körpern. Es gibt, wie die Galoissche Theorie lehrt, eine gewisse Gruppe
von
Substitutionen:
,
, …,