Ideals
durch
teilbar, wo
eine rationale Zahl bedeutet; es müßten dann auch die Zahl
und die zu
konjugierten Zahlen durch
teilbar sein, und dann wären die Koeffizienten
der obigen Gleichung bezüglich durch
teilbar. Hieraus folgt allgemein
oder
, und da
selbst eine der Zahlen
ist, so ergibt sich
; d. h. die Zahlen des Ideals
sind nicht sämtlich durch eine höhere als die
-te Potenz von
teilbar.
Wir beweisen nun für den Galoisschen Körper der Reihe nach die folgenden Sätze:
III. Zu jedem vorgelegten Primideal
läßt sich stets ein Ideal
so bestimmen, daß das Produkt
ein Hauptideal ist.
Zum Beweise bilde man die
zu
konjugierten Ideale
. Wie man durch Übergang zu den konjugierten Körpern leicht einsieht, sind diese Ideale sämtlich ebenfalls Primideale und allen gehört die nämliche Primzahl
zu. Das Produkt
ist offenbar ein ambiges Ideal[1]. Nach Satz II gibt es eine rationale Zahl
, wo
und
ganze Zahlen sind, von der Beschaffenheit, daß die Zahlen von
durch
, aber durch keine höhere Potenz von
teilbar sind. Das Ideal
wird folglich durch
teilbar und der Quotient
ist offenbar wieder ein ambiges Ideal. Wir nehmen nun an, es sei
ein Primideal, nach welchem
ist. Da dann auch
nach
ist, so müßte nach Satz 3 entweder
oder
oder
nach
sein. Es sei etwa
nach
, so würde, da
ein Primideal ist,
folgen, d. h.
nach dem Primideal
und folglich müßte nach Satz I das Ideal
durch
teilbar sein, d. h.
wäre durch
und folglich wären die Zahlen von
sämtlich durch eine höhere als die
-te Potenz von
teilbar; dies widerspricht der Wahl des Exponenten
. Aus Satz 2 folgt somit
, d. h.
. Setzen wir
‚ so folgt
.
IV. Ein ldeal
kann nur auf eine einzige Weise als Produkt von Primidealen dargestellt werden.
Zum Beweise nehmen wir an, es gebe zwei Zerlegungen des Ideals
etwa:
|
|
wo
und
Primideale sind. Da wegen der ersten Zerlegung das Ideal
nach
ist, so folgt aus der zweiten Zerlegung nach
- ↑ Bezeichnet man mit
die
voneinander verschiedenen unter den
konjugierten Idealen, so ist auch bereits das Produkt dieser
Ideale ein ambiges Ideal und daher gemäß der nachfolgenden Beweisführung gleich einer gebrochenen Potenz von
.