Beweis. Zunächst betrachten wir den Fall, daß
eine ungerade Primzahl und
ist. Wir nehmen an, es fände sich im Gegensatz zu unserer Behauptung eine rationale, in der Diskriminante von
aufgehende Primzahl
‚ welche
nach
ist. Es sei
, ferner
eine Primitivzahl nach
, und man nehme aus der Gruppe des Körpers
die Substitution
. Ist
ein idealer Primfaktor von
im Körper
, so ist das Primideal
, wegen
nach
, nach Satz 119 von einem Grade
; mithin ist nach Satz 129 der Zerlegungskörper des Primideals
von einem Grade
; die übrigen Primfaktoren von
sind dann
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während
, d. h.
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(39)
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wird. Desgleichen gelten auch für die zu
konjugierten Primideale
die entsprechenden Gleichungen
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(40)
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Nach Hilfssatz 15 gibt es eine ganze Zahl
in
‚ so daß die beiden Zahlen
und
den aus
und
zusammengesetzten Körper
bestimmen, und für welche obendrein
gleich der
-ten Potenz einer Zahl in
wird. Da
und
zwei ganzzahlige Funktionen von
sind, welche im Sinne der Kongruenz nach
keinen gemeinsamen Faktor haben, so gibt es drei ganzzahlige Funktionen
,
,
der Veränderlichen
, so daß
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ist, und hieraus folgt
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wo
eine Zahl in
ist. Wegen der vorhin bewiesenen Gleichungen (39) und (40) für die Primideale
läßt sich
als eine solche ganze oder gebrochene Zahl schreiben, daß Zähler und Nenner keinen der Primfaktoren
enthalten und daher zu
prim sind; das gleiche gilt somit von der Zahl
. Wir setzen
in solcher Weise, daß
eine ganze, zu
prime Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Der Körper
wird dann auch durch die beiden Zahlen
und
bestimmt. Die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
ist
, und da
zu
prim ist, so ist mithin auch die Relativdiskriminante von
in bezug auf
prim zu
. Da andererseits auch die Diskriminante von
nicht durch
teilbar ist, so ist nach Satz 39 auch die Diskriminante von
und folglich nach Satz 85 auch die Diskriminante des Körpers
prim zu
‚ was unserer Annahme widerspricht.