Zum Inhalt springen

Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/222

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Aus folgt, daß die Zahl reell ist. Damit ist der Beweis des Satzes 127 erbracht.

Die in Satz 126 angegebenen Einheiten sind imaginär. Um reelle Einheiten zu erhalten, bilden wir‚ je nachdem eine Potenz einer Primzahl ist oder verschiedene Primzahlen enthält, die Ausdrücke:

bez.

wo eine zu prime Zahl bedeute und der positive Wert der Quadratwurzel genommen werde. Diese Einheiten sollen kurz Kreiseinheiten genannt werden. Mit Rücksicht auf [1] erkennt man, daß in dem ersteren Falle diese Einheiten im Körper selbst liegen, während sie im zweiten Falle als Produkte aus Einheiten des Körpers in -te bez. -te Einheitswurzeln erscheinen, je nachdem gerade oder ungerade ist.


23. Der Kreiskörper in seiner Eigenschaft als Abelscher Körper.

§ 99. Die Gruppe des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln.

Der Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln ist bei jedem Werte von , wie man leicht erkennt, ein Abelscher Körper, und zwar gelten die folgenden eingehenderen Sätze:

Satz 128. Bedeutet eine ungerade Primzahl, so ist der durch bestimmte Kreiskörper ein zyklischer Körper.

Der durch bestimmte Kreiskörper entsteht durch Zusammensetzung des imaginären quadratischen Körpers und des reellen Körpers . Der reelle Körper ist zyklisch vom Grade .

Beweis. Der erste Teil des Satzes 128 folgt, wenn wir die Substitution

(Ersetzung von durch ) einführen, wo unter eine Primitivzahl nach verstanden werden soll. Offenbar sind dann alle Substitutionen der Gruppe des Körpers Potenzen von .

Um den zweiten Teil des Satzes 128 zu beweisen, betrachten wir die Substitutionen

Dann folgt leicht, daß die Potenzen von und deren Produkte mit die sämtlichen Substitutionen des Körpers ausmachen.

Auf Grund des Satzes 128 ist auch für jede zusammengesetzte Zahl die Gruppe des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln unmittelbar anzugeben.

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Vorlage:
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 205. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/222&oldid=- (Version vom 31.7.2018)