Setzt man, falls
durch mehr als eine Primzahl teilbar ist:
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,
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wo
,
, … verschiedene rationale Primzahlen seien, so kann man eine Partialbruchzerlegung vornehmen
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,
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wo
,
, … ganze rationale positive oder negative Zahlen bedeuten, und dann
, zu
,
zu
, … prim ist. Die Benutzung dieser Zerlegung liefert
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,
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wenn
, … gesetzt wird; es entsteht also durch Zusammensetzung der Körper
der
-ten Einheitswurzeln,
der
-ten Einheitswurzeln‚ … genau der Rationalitätsbereich
. Wir behandeln dementsprechend zunächst den einfacheren Fall
, wo in
nur eine Primzahl
aufgeht.
§ 95.
Der Grad des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln und die Zerlegung der Primzahl
in diesem Körper.
Für den Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln gelten folgende Tatsachen:
Satz 120. Bedeutet
die Primzahl
oder eine ungerade Primzahl, so besitzt der durch
bestimmte Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln den Grad
. Die Primzahl
gestattet in
die Zerlegung
, wo
ein Primideal ersten Grades in
ist.
Beweis.
genügt der Gleichung vom
-ten Grade:
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.
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Bedeutet
eine nicht durch
teilbare ganze rationale Zahl und dann
eine ganze rationale Zahl von der Art, daß
nach
ausfällt, so folgt ähnlich wie auf S. 195, daß sowohl
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,
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als auch der reziproke Wert davon, nämlich:
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ganze Zahlen sind; es ist daher
eine Einheit. Auf Grund dieses Umstandes können in der nämlichen Weise wie in § 91 die Gleichungen:
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