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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/213

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beide ganze algebraische Zahlen, und es erweist sich somit

als eine Einheit des Körpers . Setzen wir noch und , so erhält die Formel (31) die Gestalt

(32)

Aus Satz 33 schließt man unmittelbar, daß eine rationale Primzahl in einem gegebenen Zahlkörper höchstens das Produkt so vieler Primideale sein kann, als der Grad des Körpers beträgt. In Anbetracht der Formel (32) muß mithin der Grad des Körpers mindestens sein, also ist nach dem bereits oben Gefundenen dieser Grad genau . Andererseits kann aus dem nämlichen Grunde das Ideal im Körper nicht noch weiter in Faktoren zerfallen und es ist somit ein Primideal in [Dedekind (1)].

Das gewonnene Resultat besagt zugleich, daß die Funktion im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel ist.

§ 92. Die Basis und die Diskriminante des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln.

Satz 118. In dem durch bestimmten Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln bilden die Zahlen

eine Basis. Die Diskriminante des Kreiskörpers ist

Beweis. Die Differente der Zahl im Körper ist

Aus

folgt:

, also

nach der in § 3 (S. 71) gemachten Bemerkung ist dann die Diskriminante der Zahl

Da die Diskriminante der Zahl offenbar den nämlichen Wert hat, so lehrt die im Beweise zu Satz 5 bei Formel (1) S. 72 gemachte Bemerkung,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 196. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/213&oldid=- (Version vom 31.7.2018)