beide ganze algebraische Zahlen, und es erweist sich somit
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als eine Einheit des Körpers
. Setzen wir noch
und
, so erhält die Formel (31) die Gestalt
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(32)
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Aus Satz 33 schließt man unmittelbar, daß eine rationale Primzahl in einem gegebenen Zahlkörper höchstens das Produkt so vieler Primideale sein kann, als der Grad des Körpers beträgt. In Anbetracht der Formel (32) muß mithin der Grad des Körpers
mindestens
sein, also ist nach dem bereits oben Gefundenen dieser Grad genau
. Andererseits kann aus dem nämlichen Grunde das Ideal
im Körper
nicht noch weiter in Faktoren zerfallen und es ist somit
ein Primideal in
[Dedekind (1)].
Das gewonnene Resultat besagt zugleich, daß die Funktion
im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel ist.
§ 92.
Die Basis und die Diskriminante des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln.
Satz 118. In dem durch
bestimmten Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln bilden die Zahlen
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eine Basis. Die Diskriminante des Kreiskörpers
ist
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Beweis. Die Differente der Zahl
im Körper
ist
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Aus
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folgt:
![{\displaystyle (x-1){\frac {dF(x)}{dx}}+F(x)=lx^{l-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4aa383371daf8340f0c263db7509991155fd1c)
, also
![{\displaystyle \delta =-{\frac {l\zeta ^{l-1}}{1-\zeta }};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6325a4f8ce699e04b36338b55901067700e0abcb)
nach der in § 3 (S. 71) gemachten Bemerkung ist dann die Diskriminante der Zahl
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Da die Diskriminante
der Zahl
offenbar den nämlichen Wert
hat, so lehrt die im Beweise zu Satz 5 bei Formel (1) S. 72 gemachte Bemerkung,