Vierter Teil.
Der Kreiskörper.
21. Die Einheitswurzeln mit Primzahlexponent
und der durch sie bestimmte Kreiskörper.
§ 91.
Der Grad des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln und die Zerlegung der Primzahl
in diesem Körper.
Es bedeute
eine ungerade rationale Primzahl, und es sei
. Die Gleichung
-ten Grades
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besitzt die
Wurzeln
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Diese Zahlen heißen die
-ten Einheitswurzeln. Der durch sie bestimmte Körper werde mit
bezeichnet und der Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln genannt. Es gilt für ihn zunächst die folgende Tatsache:
Satz 117. Bedeutet
eine ungerade Primzahl, so besitzt der durch
bestimmte Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln den Grad
. Die Primzahl
gestattet in
die Zerlegung
, wo
ein Primideal ersten Grades in
ist.
Beweis. Die Zahl
genügt der Gleichung
-ten Grades
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also ist der Körper
höchstens vom Grade
. Da
,
, …,
die
Wurzeln dieser Gleichung
sind, so gilt identisch in
die Gleichung:
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für
folgt hieraus:
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(31)
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Es bedeute nun
eine beliebige durch
nicht teilbare ganze rationale Zahl
‚ und es sei dann
eine positive ganze rationale Zahl von der Art, daß
nach
ausfällt. Dann sind die Quotienten
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und
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beide ganze algebraische Zahlen, und es erweist sich somit
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als eine Einheit des Körpers
. Setzen wir noch
und
, so erhält die Formel (31) die Gestalt
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(32)
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Aus Satz 33 schließt man unmittelbar, daß eine rationale Primzahl in einem gegebenen Zahlkörper höchstens das Produkt so vieler Primideale sein kann, als der Grad des Körpers beträgt. In Anbetracht der Formel (32) muß mithin der Grad des Körpers
mindestens
sein, also ist nach dem bereits oben Gefundenen dieser Grad genau
. Andererseits kann aus dem nämlichen Grunde das Ideal
im Körper
nicht noch weiter in Faktoren zerfallen und es ist somit
ein Primideal in
[Dedekind (1)].
Das gewonnene Resultat besagt zugleich, daß die Funktion
im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel ist.
§ 92.
Die Basis und die Diskriminante des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln.
Satz 118. In dem durch
bestimmten Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln bilden die Zahlen
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eine Basis. Die Diskriminante des Kreiskörpers
ist
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Beweis. Die Differente der Zahl
im Körper
ist
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Aus
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folgt:
![{\displaystyle (x-1){\frac {dF(x)}{dx}}+F(x)=lx^{l-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4aa383371daf8340f0c263db7509991155fd1c)
, also
![{\displaystyle \delta =-{\frac {l\zeta ^{l-1}}{1-\zeta }};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6325a4f8ce699e04b36338b55901067700e0abcb)
nach der in § 3 (S. 71) gemachten Bemerkung ist dann die Diskriminante der Zahl
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Da die Diskriminante
der Zahl
offenbar den nämlichen Wert
hat, so lehrt die im Beweise zu Satz 5 bei Formel (1) S. 72 gemachte Bemerkung, daß eine jede ganze Zahl
des Körpers
in der Gestalt
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(33)
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mit ganzen rationalen Koeffizienten
,
, …,
dargestellt werden kann.
Dabei müssen dann die Zahlen
,
, …,
notwendig sämtlich durch den Nenner
teilbar sein. Um zunächst zu zeigen, daß sie ein erstes Mal durch
teilbar sind, nehmen wir an, es fände sich unter ihnen etwa
als erster nicht durch
teilbarer Koeffizient; aus
nach
würde dann in Anbetracht von
notwendig
nach
, d. h.
nach
und also auch nach l folgen, was der Annahme widerspricht. Man kann mithin einen Faktor
in Zähler und Nenner des Ausdruckes (33) fortheben. Durch die geeignete Weiterführung des eben angewandten Verfahrens folgt schließlich, daß jede ganze Zahl
des Körpers
bei ihren Darstellungen
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mit rationalen Koeffizienten
,
, …,
‚ bzw.
,
, …,
für diese lauter ganze rationale Zahlen bekommt.
Da somit die Potenzen
,
, …,
der Zahl
eine Basis des Körpers
bilden, so folgt, daß die Diskriminante
der Zahl
zugleich auch die Diskriminante des Körpers
vorstellt.
§ 93.
Die Zerlegung der von
verschiedenen rationalen Primzahlen im Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln.
Die Zerlegung der Primzahl
im Körper
ist in Satz 117 ausgeführt. Für die Zerlegungen der übrigen rationalen Primzahlen im Körper
gilt die folgende Regel:
Satz 119. Ist
eine von
verschiedene rationale Primzahl und
der kleinste positive Exponent, für welchen
nach
ausfällt, und wird dann
gesetzt, so findet im Kreiskörper
die Zerlegung
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statt, wo
, …,
voneinander verschiedene Primideale
-ten Grades in
sind [Kummer (5, 6)].
Beweis. Es sei
eine beliebige ganze Zahl des Kreiskörpers
; dann folgen die Kongruenzen
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Ist nun
ein in
aufgehendes Primideal, so folgt aus der eben erhaltenen Kongruenz
nach
um so mehr
nach
, d. h. die Kongruenz
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(34)
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wird von einer jeden ganzen Zahl des Körpers
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
erfüllt. Die Anzahl der nach
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
einander inkongruenten Wurzeln dieser Kongruenz (34) ist daher gleich der Anzahl der vorhandenen nach
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
inkongruenten ganzen Zahlen, d. h.
![{\displaystyle =n({\mathfrak {p}})=p^{f'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b609f120d889658ac935633bd25e075ace24994)
, wenn mit
![{\displaystyle f'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b)
der Grad des Primideals
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
bezeichnet wird. Nun ist der Grad der Kongruenz (34)
![{\displaystyle p^{f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705a371cd1bfc255d07f0840cbc3311820523269)
; nach Satz 26 folgt daher
![{\displaystyle p^{f'}\leqq p^{f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccb1a9b307b62cd18f0ad499025a0b1bab35f3a)
, d. h.
![{\displaystyle f'\leqq f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e26fa3559407b5577b47b866dbf38f1aebbf19b)
.
Andererseits ist nach Satz 24, dem verallgemeinerten Fermatschen Satze, gewiß
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(35)
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Da nach Formel (31) für einen nicht durch
teilbaren Exponenten
die Zahl
stets zu
prim ist, so folgt aus der Kongruenz (35):
nach
, und damit
. Wir schließen nunmehr
, d. h. jedes in
aufgehende Primideal hat den Grad
.
Da
nicht in der Diskriminante des Körpers
aufgeht, so folgt nach Satz 31, daß
in lauter voneinander verschiedene Primideale zerfällt. Setzen wir etwa
, so wird
, d. h.
,
. Damit ist der Beweis des Satzes 119 vollständig erbracht.
Zur wirklichen Aufstellung der Primideale
, …‚
wenden wir den Satz 33 an und berücksichtigen die im Anschluß daran auf S. 91 gemachte Bemerkung. Danach gilt identisch in
nach
eine Zerlegung
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wo
, …,
ganze nach
irreduzible und einander inkongruente Funktionen vom
-ten Grade in
mit ganzen rationalen Koeffizienten bedeuten. Nach Bestimmung dieser Funktionen erhalten wir die gewünschte Darstellung in den folgenden Formeln
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