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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/207

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gesetzt ist. Wegen der Gleichung enthält den Faktor ; die in rationale Funktion bleibt mithin für endlich. Aus diesem Grunde ist

.

Wenn wir in dem letzteren Integral die neue Integrationsveränderliche einführen, so erhält dasselbe die Gestalt:

.

Nun haben wir die Zerlegung in Partialbrüche:

,

wo die Summe über ] zu erstrecken ist, und nach einem Satze von Gauss wird , d. i.

;

durchläuft hier wiederum die Zahlen und ist bei positivem positiv, bei negativem positiv imaginär zu nehmen (vgl. § 124). Da ferner

ist, wo für den Logarithmus der reelle Wert desselben zu nehmen ist, so folgt ohne Schwierigkeit das im Satze 114 angegebene Resultat.

Die Form dieses Resultates ist eine wesentlich verschiedene, je nachdem der Körper imaginär oder reell ist. Im ersteren Falle kann aus der angegebenen Formel ohne weiteres berechnet werden. Im zweiten Falle ist zuvor die Kenntnis der Grundeinheit erforderlich; der Quotient der beiden Produkte und ist, wie sich an einer späteren Stelle (vgl. § 121) zeigen wird, nichts anderes, als eine gewisse aus der Theorie der Kreisteilung für den quadratischen Körper sich ergebende Einheit

Um ein Beispiel für den Fall eines imaginären Körpers zu nehmen, so erhält man, wenn ist und eine rationale positive Primzahl