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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/206

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wo die Summe über die ganzen rationalen Zahlen , und wo die Produkte über alle diejenigen Zahlen oder unter diesen Zahlen zu erstrecken sind, welche der Bedingung bezüglich genügen [Dirichlet Weber ].

Beweis. Es seien Zahlen . Wenn und einen gemeinsamen Teiler besitzen, so ist . Ist dagegen prim zu , so wird,wie man leicht einsieht, , wo das Produkt über alle verschiedenen rationalen Primzahlen zu erstrecken ist, die in aufgehen. Nach Hilfssatz stellt dann das Produkt die nämliche Einheit dar, wenn alle in aufgehenden Primzahlen durchläuft. Ist nun nach , so wird:

,

und mit Rücksicht hierauf erhalten wir:

,

(29)

wenn nach ist.

Ferner ergibt sich

,

(30)

indem wir eine Zahl bestimmen, derart, daß ist, und dann erwägen, daß die linke Seite von mit Rücksicht auf in die Gestalt

gesetzt werden kann.

Durch Benutzung der Formel

wird, wenn wir die Regel berücksichtigen:

,

wo zur Abkürzung