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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/201

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Grenzen wachsen. Sehen wir von den Gliedern ab, die den in aufgehenden Primzahlen entsprechen und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so ist im übrigen die Summe (28) gleich , wo nur alle diejenigen Primzahlen durchläuft, für welche die im Satze 111 verlangten Bedingungen sämtlich erfüllt sind. Da mithin auch diese letzte Summe für über alle Grenzen wächst, so folgt, daß jene Primzahlen in unendlicher Anzahl vorhanden sein müssen. Damit ist Satz 111 bewiesen.

§ 81. Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Charakteren in einem quadratischen Körper.

Satz 112. Sind

die Einzelcharaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in bestimmen, und bedeuten , …, beliebig angenommene, der Bedingung genügende Einheiten ‚ so gibt es stets unendlich viele Primideale im Körper , für welche

ist.

Beweis. In der Diskriminante des Körpers seien die rationalen Primzahlen , …, , enthalten. Es ist oder ; in letzterem Falle sei ‚ und die Bedingung diene zur Bestimmung des Vorzeichens in . Zugleich schreiben wir in diesem Falle . Wir beweisen nun zunächst, daß es unendlich viele rationale Primzahlen gibt, für welche

ist, und unterscheiden zu dem Zweck drei Fälle, je nachdem , , oder nach ist.

Im ersten Falle gehen wir von den Forderungen

aus. Nach Satz 111 gibt es unendlich viele Primzahlen , welche diesen Gleichungen genügen. Da die erste Gleichung auf nach hinauskommt, so wird für diese Primzahlen dann

für gelten.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 184. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/201&oldid=- (Version vom 31.7.2018)