,
, …,
,
‚ …,
, …‚
eine Quadratzahl wird, und sind
,
, …,
, nach Belieben vorgeschriebene Einheiten
oder
, so gibt es stets unendlich viele rationale Primzahlen
, für die
|
, , …,
|
ist.
Beweis. Wir haben, solange
ist:
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Da der Ausdruck
, wie in § 50 gezeigt worden ist, für
endlich bleibt, so folgt, daß die über alle rationalen Primzahlen
erstreckte Summe
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(26)
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bei Annäherung von
an
über alle Grenzen wächst. Ist ferner
eine beliebige ganze rationale Zahl, so gilt ähnlich für
stets:
|
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ist
nicht eine Quadratzahl, so bleibt nach Satz 110
für
endlich, und da das gleiche von dem Ausdruck
gilt, so folgt,
daß dann auch die Summe
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(27)
|
für
sich einer endlichen Grenze nähert. Wir setzen nun in (27)
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ein und geben jedem der
Exponenten
‚
, …,
den Wert
oder
, jedoch so, daß das Wertsystem
,
, …,
ausgeschlossen
bleibt. Wird dann jede so aus (27) herzuleitende Summe noch mit dem
entsprechenden Faktor
multipliziert, und werden die hervorgehenden
Ausdrücke sämtlich zu (26) addiert, so entsteht:
.
|
(28)
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Diese Summe wird, ebenso wie (26), bei Annäherung von
an
über alle