Um nun zunächst für ein ungerades
das Symbol
zu bestimmen, müssen wir untersuchen, für welche zusammengehörigen Werte von
und
die Kongruenzen
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(23)
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lösbar sind. Eine kurze Rechnung liefert folgende Tabelle, in welcher unter der Rubrik
die sechs hier in Frage kommenden Reste von
nach
und unter der Rubrik
diejenigen ungeraden Reste von
nach
verzeichnet stehen, für welche jedesmal die zugehörige Kongruenz (23) nach
lösbar ist.
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc) |
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1 |
1, 3, 5, 7
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2 |
1, 7
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3 |
1, 5
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5 |
1, 3, 5, 7
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6 |
1, 3
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7 |
1, 5
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Diese Tabelle lehrt für den Fall, daß
,
ungerade sind, die Richtigkeit der Gleichung
; und für den Fall, daß
ungerade und
gerade,
, ist, entspringt aus ihr:
.
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Ist andererseits
gerade,
‚ und
ungerade, so haben wir die beiden Fälle
und
nach
zu unterscheiden. Im ersteren Falle muß die Zahl
im Körper
jedenfalls das Produkt zweier verschiedener Primideale sein, sobald
Normenrest nach 2 in
sein soll, d. h. es muß
sein. Ist diese Bedingung erfüllt, so kann man stets in
eine Zahl
finden, für welche die Norm
durch
, aber nicht durch
teilbar ist; dann folgt:
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,
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und dieses letztere Symbol ist nach Formel
gleich
; mithin gilt in diesem Falle die Formel:
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.
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