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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/181

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Kongruenz nach folgt leicht, daß diese Kongruenz auch nach jeder Potenz von lösbar ist, d. h. es wird unter den gegenwärtigen Annahmen

.

Setzen wir andererseits durch teilbar voraus, aber der anfänglichen Festsetzung zufolge nicht teilbar durch , so würde eine Auflösung der Kongruenz nach in eine solche ganze Zahl des Körpers darbieten, für welche die Norm nur , aber nicht als Faktor enthielte, d. h. zerfiele im Körper in zwei voneinander verschiedene Primideale und ; die notwendige Bedingung hierfür ist nach

Satz 97: . Umgekehrt, wenn diese Bedingung erfüllt ist, so ist in der Tat im Körper ein Produkt zweier verschiedener Primideale. Bezeichnet dann eine ganze Zahl in , welche durch , aber weder durch noch durch teilbar ist, so folgt:

.

Damit ist bewiesen, daß unter der gegenwärtigen Annahme stets ist.

Die bisher gewonnenen Resultate lassen unmittelbar die Richtigkeit der Formeln erkennen; ferner ergeben sie für ungerade Primzahlen vollständig die Formeln ‚ wenn man der Reihe nach die verschiedenen möglichen Fälle in Hinsicht auf Teilbarkeit oder Nichtteilbarkeit der Zahlen , , durch in Betracht zieht.

     3. Im Falle stellen wir zunächst folgende Betrachtung an: Es sei eine ganzzahlige homogene Funktion zweiten Grades von , und eine ungerade ganze rationale Zahl; wenn die Kongruenz nach durch ganze rationale Zahlen , lösbar ist, so ist diese Kongruenz auch nach jeder höheren Potenz lösbar. Wir beweisen dies durch einen Schluß von auf . Es seien , zwei ganze rationale Zahlen, für welche nach gilt, wobei der Exponent sei. Ist dann nicht auch zugleich nach , sondern vielmehr nach , so bestimmen wir, was wegen angängig ist, eine ganze rationale Zahl derart, daß nach ist; dann wird

,

und hiermit ist die Behauptung bewiesen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 164. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/181&oldid=- (Version vom 31.7.2018)