Kongruenz
nach
folgt leicht, daß diese Kongruenz auch nach jeder Potenz von
lösbar ist, d. h. es wird unter den gegenwärtigen Annahmen
|
.
|
Setzen wir andererseits
durch
teilbar voraus, aber der anfänglichen Festsetzung zufolge nicht teilbar durch
, so würde eine Auflösung der Kongruenz
nach
in
eine solche ganze Zahl des Körpers
darbieten, für welche die Norm
nur
, aber nicht
als Faktor enthielte, d. h.
zerfiele im Körper
in zwei voneinander verschiedene Primideale
und
; die notwendige Bedingung hierfür ist nach
Satz 97:
. Umgekehrt, wenn diese Bedingung erfüllt ist, so ist in der Tat
im Körper
ein Produkt
zweier verschiedener Primideale. Bezeichnet dann
eine ganze Zahl in
, welche durch
, aber weder durch
noch durch
teilbar ist, so folgt:
|
.
|
Damit ist bewiesen, daß unter der gegenwärtigen Annahme stets
ist.
Die bisher gewonnenen Resultate lassen unmittelbar die Richtigkeit der Formeln
‚
erkennen; ferner ergeben sie für ungerade Primzahlen
vollständig die Formeln
‚
‚ wenn man der Reihe nach die verschiedenen möglichen Fälle in Hinsicht auf Teilbarkeit oder Nichtteilbarkeit der Zahlen
,
,
durch
in Betracht zieht.
3. Im Falle
stellen wir zunächst folgende Betrachtung an: Es sei
eine ganzzahlige homogene Funktion zweiten Grades von
,
und
eine ungerade ganze rationale Zahl; wenn die Kongruenz
nach
durch ganze rationale Zahlen
,
lösbar ist, so ist diese Kongruenz auch nach jeder höheren Potenz
lösbar. Wir beweisen dies durch einen
Schluß von
auf
. Es seien
,
zwei ganze rationale Zahlen, für welche
nach
gilt, wobei der Exponent
sei. Ist dann nicht auch zugleich
nach
, sondern vielmehr
nach
, so bestimmen wir, was wegen
angängig ist, eine ganze rationale Zahl
derart, daß
nach
ist; dann wird
|
,
|
und hiermit ist die Behauptung bewiesen.