sei
eine den Körper
bestimmende Zahl. Es genügt dann
einer Gleichung
-ten Grades von der Gestalt:
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deren Koeffizienten
, …,
, ganze Zahlen in
sind. Wir setzen
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wo
‚ …‚
ganzzahlige Funktionen von
sind, und erhalten so für
die Kongruenz:
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Da wegen
die Anzahl der in
vorhandenen, nach
inkongruenten ganzen Zahlen gleich der
-ten Potenz der Anzahl der in
vorhandenen nach
inkongruenten ganzen Zahlen ist, so kann
keiner Kongruenz niederen als
-ten Grades von der nämlichen Art genügen, und daher ist notwendig
nach
; d. h. die Relativdifferente der Zahl
ist nicht durch
teilbar. Durch diese Betrachtungen ist gezeigt, daß die Relativdifferente des Körpers
stets prim zu den Primidealen der zweiten und dritten Art ist, und hieraus ergibt sich die Richtigkeit des Satzes 93.
§ 58.
Der Fundamentalsatz von den relativ-zyklischen Körpern mit der Relativdifferente
. Die Bezeichnung dieser Körper als Klassenkörper.
Die Sätze 90, 92 und 93 ermöglichen uns die Erkenntnis einer Tatsache, welche für die Theorie der Zahlkörper von weittragender Bedeutung ist. Diese Tatsache ist folgende:
Satz 94. Wenn der relativ-zyklische Körper
von ungeradem Primzahl-Relativgrade
die Relativdifferente
in bezug auf
besitzt, so gibt es stets in
ein Ideal
, welches nicht Hauptideal in
ist, wohl aber ein Hauptideal in
wird. Die
-te Potenz dieses Ideals
ist dann notwendig auch in
ein Hauptideal, und die Klassenanzahl des Körpers
ist mithin durch
teilbar.
Beweis. Nach Satz 92 gibt es eine Einheit
mit der Relativnorm
, welche nicht die
-te Potenz einer Einheit ist. Nach Satz 90 ist
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; d. h. es ist
. Für das Hauptideal
folgt hieraus
. Das Ideal
liegt im Körper
. Denn ist
irgendein in
aufgehendes Primideal des Körpers
, welches nicht in
liegt, so ist nach Satz 93, da wegen der Voraussetzung die Relativdiskriminante keine Teiler besitzt,
, und folglich enthält
auch die Relativnorm
, welche ein in
liegendes Primideal ist. Das Ideal
ist kein Hauptideal im Körper
; denn in diesem Falle wäre
, wo
eine Einheit und