dann folgt, daß es stets
ganze rationale Zahlen
, …‚
gibt, welche nicht sämtlich durch
teilbar sind, und für welche
wird. In der Tat, wären in einer Gleichung von der letzteren Gestalt die Exponenten
, …,
sämtlich durch
teilbar, so müßte
eine
-te Einheitswurzel und demnach infolge der Voraussetzung
sein; hieraus ergibt sich durch Wiederholung des Verfahrens das Gesagte. Nehmen wir nun
, …,
gleich den Relativnormen von
, …,
, wo
, …‚
ein System von relativen Grundeinheiten in
sind, und setzen dann
, so folgt
und daher nach dem Satz 90:
; da
, …‚
relative Grundeinheiten sind, so ist die Zahl
keine Einheit.
Um den Satz 92 allgemein zu beweisen, werde angenommen, daß
die primitive
-te Einheitswurzel
, aber nicht die primitive
-te Einheitswurzel enthielte. Durch ein ähnliches Verfahren, wie das oben angewandte, wird erkannt, daß, wenn
, …‚
irgendwelche
Einheiten in
sind, stets eine ganze rationale Zahl
und ferner
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen
, …‚
von der Art gefunden werden können, daß
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ist.
Andererseits bedenke man, daß die Relativnorm
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wird und daher nach Satz 90
eine
-te symbolische Potenz werden muß. Gäbe es nun keine Einheit
in
, so daß
ist, so wäre bereits
eine Zahl von der gewünschten Beschaffenheit. Im anderen Falle folgt
, d. h.
, und daher stellt
eine Einheit
in
dar, während
selbst gewiß nicht in
liegt. Wegen
ergibt sich
. Es sei
, …,
ein System von relativen Grundeinheiten in
; wir setzen nun:
|
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wo
,
, …,
die vorhin bestimmten Zahlen sind und
die
-te Wurzel aus einer Einheit des Körpers
bedeutet; dann wird
. Die Zahlen
, …,
können nicht sämtlich durch
teilbar sein. Denn aus
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würde dann
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