wo
, …,
Unbestimmte sind. Entwickeln wir hier die Determinante nach den Elementen der ersten Horizontalreihe und schreiben sie dabei in
der Gestalt
, so sind, wie man leicht erkennt, die Zahlen
, …,
sämtlich ganze Zahlen des Körpers
; sie gehen, wie die Formel (17) zeigt, aus den Zahlen
, …,
dadurch hervor, daß man die letzteren
mit ein und demselben in
liegenden Faktor multipliziert. Die
Zahlen
, …,
sind folglich wieder Basiszahlen eines Ideals; dieses Ideal heiße
.
Die Zahlen des Ideals
sind sämtlich ganzzahlige Funktionen von
. Dasselbe ist folglich durch
teilbar, und wir setzen
, wo
ein gewisses Ideal in
bedeutet. Unsere Gleichung (17) zeigt dann, daß
|
|
ist, und wenn man die Norm nimmt, so folgt hieraus:
|
, d. h. .
|
Da andererseits vorhin
gefunden worden ist, so muß
,
,
sein, und folglich wird
,
,
.
Nunmehr sei
ein beliebig gegebenes Primideal des Körpers
, so beweisen wir zunächst, daß sich stets eine ganze Zahl
in
finden läßt von der Art, daß der Führer des durch
bestimmten Ringes nicht durch
teilbar ist. Es sei die durch
teilbare rationale Primzahl
, wo
ein zu
primes Ideal bedeutet; ferner sei
als ganze Zahl in
derart ausgewählt, daß jede beliebige ganze Zahl des Körpers
nach jeder noch so hohen Potenz von
kongruent einer ganzzahligen Funktion von
wird. Die Existenz einer solchen
Zahl
ist in Satz 29 gezeigt worden; zugleich werde die Zahl
so gewählt, daß sie
nach
wird (Satz 25) und eine den Körper
bestimmende Zahl ist.
Nunmehr sei die Diskriminante
der Zahl
gleich
, wo
eine zu
prime, ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist dann jede ganze Zahl
des Körpers
in der Gestalt
darstellbar, wo
eine ganze ganzzahlige Funktion
von
bezeichnet. In der Tat: wird
nach
, wo
eine ganzzahlige Funktion von
bedeutet, und setzen wir
, so folgt, daß
durch
teilbar wird. Wir setzen
, wo
eine ganze Zahl des Körpers
bedeutet. Da nach § 3 eine jede ganze Zahl
in die Gestalt
gebracht werden kann, wo
eine ganze ganzzahlige Funktion von
bedeutet, so folgt
und weiter
. Die eben gefundene Eigenschaft der Zahl
lehrt, daß die Zahl
jedenfalls in dem Führer des durch
bestimmten Ringes vorkommt. Derselbe ist mithin nicht durch
teilbar, d. h. die Zahl
ist eine Zahl von der oben verlangten Beschaffenheit.