Einheitswurzeln bezeichnet, so ist das
-fache der Anzahl
aller durch
teilbaren Hauptideale mit einer Norm
notwendig gleich der Anzahl der verschiedenen Systeme von ganzzahligen Wertsystemen
, …,
, für welche
ausfällt, und für welche überdies die Exponenten
, …,
den Bedingungen (13) genügen.
Nunmehr setzen wir
, , …, ;
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dabei bleiben die Form
und folglich auch die Größen
, …,
, …,
von
unabhängig und enthalten lediglich die
neuen Veränderlichen
, …,
. Die Ungleichung
geht in
über; da ferner in Folge der Bedingungen (13) die
Logarithmen
, …,
und folglich wegen
auch der Logarithmus
absolut unter einer endlichen, durch
, …,
bestimmten Grenze liegen, so folgt das Gleiche für die sämtlichen Größen
, …,
und damit liegen wegen
auch die
Größen
, …,
sämtlich unterhalb einer endlichen Grenze. Hieraus folgt, daß die Ungleichungen (13) unter Zuhilfenahme der Ungleichung
in dem durch die
Koordinaten
, …,
bestimmten
-dimensionalen Raume ein endliches Raumgebiet abgrenzen.
Bedenken wir nun, daß nach den Ausführungen in § 19 S. 103 die Funktionswerte
, …,
die Werte der Variabeln
, …,
-deutig bestimmen, so ist nach der Definition des Begriffs eines vielfachen Integrals
,
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wo das Integral rechter Hand über das durch die Ungleichungen
, …, ,
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bestimmte
-dimensionale Raumgebiet zu erstrecken ist und daher einen
endlichen bestimmten Wert besitzt.
Um diesen Wert zu ermitteln, führen wir statt der Integrationsverändenlichen
, …,
die neuen Veränderlichen
, …,
,
,
, …,
ein, wo
und
von
, …,
abhängig zu nehmen sind. Da diese
Größen sämtlich analytische und in dem Integrationsgebiet
, …, , , , …,
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sich regulär verhaltende, eindeutige Funktionen von
, …,
sind, so ist
.
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