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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/131

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Einheitswurzeln bezeichnet, so ist das -fache der Anzahl aller durch teilbaren Hauptideale mit einer Norm notwendig gleich der Anzahl der verschiedenen Systeme von ganzzahligen Wertsystemen , …, , für welche ausfällt, und für welche überdies die Exponenten , …, den Bedingungen (13) genügen.

Nunmehr setzen wir

, , …, ;

dabei bleiben die Form und folglich auch die Größen , …, , …, von unabhängig und enthalten lediglich die neuen Veränderlichen , …, . Die Ungleichung geht in über; da ferner in Folge der Bedingungen (13) die Logarithmen , …, und folglich wegen auch der Logarithmus absolut unter einer endlichen, durch , …, bestimmten Grenze liegen, so folgt das Gleiche für die sämtlichen Größen , …, und damit liegen wegen auch die Größen , …, sämtlich unterhalb einer endlichen Grenze. Hieraus folgt, daß die Ungleichungen (13) unter Zuhilfenahme der Ungleichung in dem durch die Koordinaten , …, bestimmten -dimensionalen Raume ein endliches Raumgebiet abgrenzen.

Bedenken wir nun, daß nach den Ausführungen in § 19 S. 103 die Funktionswerte , …, die Werte der Variabeln , …, -deutig bestimmen, so ist nach der Definition des Begriffs eines vielfachen Integrals

,

wo das Integral rechter Hand über das durch die Ungleichungen

, …, ,

bestimmte -dimensionale Raumgebiet zu erstrecken ist und daher einen endlichen bestimmten Wert besitzt.

Um diesen Wert zu ermitteln, führen wir statt der Integrationsverändenlichen , …, die neuen Veränderlichen , …, , , , …, ein, wo und von , …, abhängig zu nehmen sind. Da diese Größen sämtlich analytische und in dem Integrationsgebiet

, …, , , , …,

sich regulär verhaltende, eindeutige Funktionen von , …, sind, so ist

.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 114. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/131&oldid=- (Version vom 31.7.2018)