Zum Inhalt springen

Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/130

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Dedekind, eine fundamentale Formel abzuleiten, vermöge welcher sich die Anzahl der Idealklassen eines beliebigen Zahlkörpers als Grenzwert einer gewissen unendlichen Reihe darstellt [Dedekind (1[1])]. Um zu dieser Formel zu gelangen, beweisen wir zunächst folgenden Hilfssatz:

Hilfssatz 10. Ist eine reelle positive Veränderliche und die Anzahl aller derjenigen durch das gegebene Ideal teilbaren Hauptideale, deren Normen sind, so ist

wo die Anzahl der in vorkommenden Einheitswurzeln und den Regulator des Körpers bezeichnet. Die Bedeutung von , ist in Satz 47 erklärt. dient zur Abkürzung für Limes.

Beweis. Es sei , …, um eine Basis des Ideals ; jede durch teilbare ganze Zahl besitzt dann die Gestalt:

,

wo , …, ganze rationale Werte annehmen und , …, lineare ganzzahlige Funktionen der , …, sind. Wenn wir , …, als reelle Veränderliche ansehen und

, …, ,

setzen, so sind , …, eindeutige Funktionen von , …, und ist eine Form, für welche wird. Wir berechnen nun die ersten Logarithmen zur Form und hieraus reelle Größen , …, derart, daß, wenn , …, ein System von Grundeinheiten bezeichnen,

ist; diese Größen , …, werden in diesem § 25 kurz die Exponenten von genannt.

Nimmt man für , …, ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen, so ist klar, daß die so entstehende ganze Zahl stets durch Multiplikation mit ganzen Potenzen der Einheiten , …, , in eine solche Zahl verwandelt werden kann, deren Exponenten , …, den Bedingungen

, …, (13)

genügen. Umgekehrt sehen wir, daß zwei ganze Zahlen , , deren Normen und Exponenten gleich sind, sich nur um einen Faktor unterscheiden können, welcher eine Einheitswurzel ist. Wenn daher die Anzahl der in liegenden


  1. [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive