Beweis. In der Reihe
,
, …,
stimmen notwendig zwei Klassen,
etwa
und
, miteinander überein. Aus
folgt
. Ist
zugleich der kleinste Exponent (
) von der Beschaffenheit, daß
wird, so folgt, daß die
Klassen
,
, …,
sämtlich untereinander verschieden sind. Ist
eine von diesen
Klassen verschiedene Klasse, so sind die
Klassen
,
, …,
wiederum sämtlich untereinander und von den
vorigen Klassen verschieden; die Fortsetzung dieses Verfahrens zeigt, daß
ein Vielfaches von
sein muß, und hieraus folgt der zu beweisende Satz 51.
Die
-te Potenz eines jeden beliebigen Ideals
ist nach diesem Satz stets ein Hauptideal.
Satz 52. Wenn
und
beliebige ganze Zahlen sind, so gibt es stets eine sowohl in
wie in
aufgehende ganze von
verschiedene Zahl
, welche eine Darstellung
gestattet, wo
,
geeignet gewählte ganze Zahlen sind. Die Zahlen
,
,
gehören im allgemeinen nicht dem durch
und
bestimmten Zahlkörper an [Dedekind (1[1])].
Satz 53. Es seien
,
und
,
zwei Zahlenpaare des Körpers
; damit
werde, ist es notwendig und hinreichend, daß man im Körper
vier ganze Zahlen
,
,
,
finden kann, deren Determinante
ist, und durch welche die Gleichungen
|
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erfüllt sind [Hurwitz (4[2])].
Beweis. Daß die genannte Bedingung hinreichend ist, folgt aus dem Umstande, daß diese beiden Gleichungen eine Umkehrung von der Gestalt
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gestatten, wo
,
,
,
ganze Zahlen sind. Die Bedingung ist ferner auch notwendig. Bezeichnet nämlich
die Anzahl der Idealklassen, so wird
, wo
eine ganze Zahl des Körpers
ist. Es sei
|
|
wo
,
,
,
ganze Zahlen in
sind; dann erfüllen offenbar die vier ganzen Zahlen
, ,
,
|
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die Bedingung des Satzes 53. Daß
ist, ergibt sich, wenn man die
beiden Determinanten
und
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nach dem Multiplikationssatze miteinander zusammensetzt.
- ↑ [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]
- ↑ [358] Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlkörper. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.[WS 2]
Anmerkungen (Wikisource)